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> Ergeben die drei Dokumente Sinn? Wie gehören sie zusammen?
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Ja, die drei Dokumente ergeben Sinn – sie bilden eine klare redaktionelle Kette: **Hauptartikel → vorgeschlagene Erweiterung → Korrektur an dieser Erweiterung.** Aber es gibt ein paar Stellen, an denen die Teile beim Zusammenfügen noch nicht sauber ineinandergreifen.
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## Wie sie zusammenhängen
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**Dokument 1** (`symmetric_shadow_maps_formal.tex`) ist der eigentliche Artikel: Er definiert die Shadow Maps $\mathcal M_a$, $\mathcal M_S$, beweist die Cut-Separability-Schranke $\|\mathcal M_S(\rho)\|_*\le1$ und berichtet mehrere numerische Entartungen als bloße Beobachtungen – z.B. dass $\mathcal M_a(\mathrm{GHZ}_3)$ drei gleiche Singulärwerte hat, dass der Smolin-Zustand unter $1|3$- und $2|2$-Schnitten dieselbe Struktur zeigt, und dass alle 38 Vier-Qubit-Graphzustände denselben Wert $6/\sqrt7$ liefern.
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**Dokument 2** ("Section on states with symmetries") ist ein vorgeschlagener neuer Abschnitt, der genau diese Beobachtungen *erklären* soll: Er führt eine gruppentheoretische (isotypische) Verfeinerung der Sektor-Graduierung ein und zeigt per Schur-Lemma, dass $G$-Invarianz von $\rho$ die Shadow Map blockdiagonal macht. Im Remark zur "no universal sharpening" wird dann behauptet, der Einzelfall mit nur einer isotypischen Komponente – konkret: ein einzelnes Qubit als Quelle, dessen Bloch-Raum unter kollektivem $SU(2)$ irreduzibel ist – sei genau der Mechanismus hinter den GHZ$_3$- und Smolin-Entartungen.
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**Dokument 3** ("Correction on symmetric states") korrigiert genau diese eine Passage. Die Kernaussage: GHZ$_3$ und der Smolin-Zustand sind gar nicht $SU(2)$-invariant unter kollektiven Rotationen (das lässt sich leicht nachrechnen – schon eine reine $Z$-Kollektivdrehung zerstört GHZ$_3$ als Dichtematrix), also greift Dokument 2s Voraussetzung ("$\rho$ ist $G$-invariant") für diese Beispiele gar nicht. Der tatsächliche Grund für die Entartung ist rein kombinatorisch: Beide Zustände sind Pauli-diagonale Stabilizer-Zustände, und Dokument 3 liefert dafür ein sauberes $\mathbb F_2$-lineares Argument (Stabilizer-Untergruppe, Faserstruktur von $\varphi,\psi$), das die exakten Entartungsgrade erzwingt – unabhängig von jeder Lie-Gruppen-Struktur. Das ist ein berechtigter Fix: Die in Dokument 2 zitierte Erklärung war für genau die Beispiele, an denen sie demonstriert wurde, nicht anwendbar.
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## Was vor dem Einbau noch zu klären ist
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1. **Fehlendes Label bricht die Kompilierung.** Dokument 2 referenziert `\ref{thm:cut-bound}` (zweimal). Ich habe im Quelltext nachgesehen: Das erste Theorem in Dokument 1 (Abschnitt "Cut-separable states") hat gar kein `\label` – nur die zugehörige Gleichung trägt `\label{eq:cut-bound}`. Das sieht nach einem simplen Versehen aus (Label für die Gleichung gesetzt, für den Satz selbst vergessen) und lässt sich leicht beheben, indem man `\label{thm:cut-bound}` direkt nach `\begin{theorem}` in Zeile 180 ergänzt. Alle übrigen Querverweise aus Dokument 2 (`sec:multiparty-sources`, `cor:sub-block`, `sec:tensor-viewpoint`, `thm:cluster-cut` usw.) existieren bereits korrekt in Dokument 1, und Dokument 2s eigene neue Labels kollidieren mit keinem bestehenden.
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2. **Platzierung von Dokument 2 im Artikel.** Der Text setzt bereits den Abschnitt "The tensor viewpoint" (`sec:tensor-viewpoint`) als bekannt voraus ("… discussed in the closing remark of Section~\ref{sec:tensor-viewpoint}"). Der natürliche Einfügeort ist also ein neuer Abschnitt zwischen "The tensor viewpoint" und "Outlook", nicht direkt nach "Multi-party sources".
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3. **Zahlenmäßige Nachprüfung von Dokument 3 steht noch aus.** Ich habe die Rechnung selbst nachvollzogen (GHZ$_3$-Stabilizergruppe, Faserstruktur) und Dokument 3s Grundmechanismus – Faktorgröße $|\ker\varphi|$ als erzwungene Zeilennorm – bestätigt sich strukturell. Aber zwei Dinge passen nicht ohne Weiteres zu Dokument 1s eigenen Zahlen:
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- Für den Smolin-Zustand schreibt das Korollar in Dokument 3 "$4$ Singulärwerte gleich $0{,}25$", obwohl aus $|\mathrm{im}\,\varphi|-1$ (wie im GHZ-Beispiel direkt daneben korrekt vorgerechnet) eigentlich $4-1=3$ folgen sollte – vermutlich ein Zahlendreher.
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- Die Umrechnungsvorschrift "durch $2^{n/2}$ teilen, um an die im Artikel verwendete Konvention anzuschließen" liefert bei genauem Nachrechnen weder für GHZ$_3$ ($0{,}5$ statt der in Dokument 1 stehenden $\sqrt{2/3}\approx0{,}816$) noch für Smolin ($0{,}25$ statt $1/\sqrt7\approx0{,}378$) tatsächlich Dokument 1s Werte. Da geht offenbar noch eine Umrechnung zwischen der reinen $\sigma$-String-Normierung und der in Dokument 1 verwendeten $(d_a-1)(d_{\bar a}-1)$-Normierung verloren. Das würde ich vor dem Einbau explizit nachrechnen, bevor die Formel als "identisch mit Theorem~1" behauptet wird.
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4. **Formaler Zustand von Dokument 3.** Es ist erkennbar ein Entwurf/eine Nachricht eines Koautors ("Ersatztext … in eurem Stil, direkt einsetzbar", plus deutsche Erläuterungen am Ende) und nicht fertig integrierter Fließtext. Die beiden Schlussanmerkungen sollten vor der Einbindung entweder gestrichen oder in eigene Sätze im Artikelstil umgewandelt werden – inhaltlich sind sie aber nützlich (sie benennen explizit, dass das $\mathbb F_2$-Argument nur für Pauli-diagonale Zustände gilt und für nicht-diagonale symmetrische Zustände weiterhin Dokument 2s Schur-Argument die einzige verfügbare Aussage bleibt – das sollte im Endtext so auch stehen bleiben).
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**Kurzfassung:** Die Blaupause ist stimmig und die inhaltliche Korrektur in Dokument 3 ist berechtigt und wissenschaftlich sinnvoll – aber vor dem Zusammenführen fehlt ein Label in Dokument 1, und die konkreten Zahlenwerte in Dokument 3 sollten noch einmal gegen Dokument 1s eigene Rechnungen (GHZ$_3$, Smolin) abgeglichen werden, bevor sie als exakt übereinstimmend behauptet werden.
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> Ergeben die drei Dokumente Sinn? Wie gehören sie zusammen?
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Ja – kurz zusammengefasst, wie beim letzten Mal:
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**Die Kette:** Dokument 1 ist der Artikel selbst (Shadow-Maps, Cut-Separability-Schranke, numerische Beobachtungen wie die dreifache Entartung bei GHZ$_3$ und Smolin). Dokument 2 ist ein vorgeschlagener neuer Abschnitt, der diese Entartungen gruppentheoretisch erklären will (Schur-Lemma, isotypische Zerlegung unter $SU(2)$). Dokument 3 korrigiert eine konkrete Stelle in Dokument 2: Die dort behauptete $SU(2)$-Erklärung passt gar nicht zu den verwendeten Beispielzuständen (GHZ$_3$, Smolin sind schlicht nicht $SU(2)$-invariant), und liefert stattdessen den tatsächlich zutreffenden Mechanismus – ein kombinatorisches $\mathbb F_2$-Argument über Stabilizer-Zustände.
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**Drei offene Punkte vor dem Zusammenführen**, falls du konkret dabei bist, die Dokumente zu verschmelzen:
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1. Dokument 2 zitiert `\ref{thm:cut-bound}`, aber dieses Label existiert in Dokument 1 nicht (nur `eq:cut-bound` für die Gleichung, nicht für den Satz selbst) – muss ergänzt werden, sonst kompiliert es nicht.
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2. Dokument 3 enthält einen vermutlichen Zahlendreher ("4 Singulärwerte" beim Smolin-Zustand, wo nach demselben Muster wie beim GHZ-Beispiel eigentlich 3 herauskommen sollten) und die angegebene Umrechnung ("durch $2^{n/2}$ teilen") reproduziert die in Dokument 1 stehenden Werte ($\sqrt{2/3}$ bzw. $1/\sqrt7$) bei genauem Nachrechnen nicht exakt.
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3. Dokument 3 ist inhaltlich fertig, aber formal noch ein Rohentwurf (deutsche Randbemerkungen, "Ersatztext"-Rahmung) und müsste stilistisch angepasst werden.
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Möchtest du, dass ich direkt an einem der drei Punkte weiterarbeite – z. B. das fehlende Label ergänzen, die Smolin-Rechnung in Dokument 3 nachrechnen, oder Dokument 2+3 zu einem einbaufertigen LaTeX-Abschnitt zusammenführen?
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> Erst smolin nachrechnen. Wäre Klasse!
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Gute Nachricht: Ich habe die Smolin-Rechnung direkt nachvollzogen (per Hand über die Pauli-Algebra) – Dokument 1s Zahlen stimmen, und Dokument 3s Lemma stimmt auch, **aber** die Umrechnungsnote in Dokument 3 ("durch $2^{n/2}$ teilen") ist der Fehler. Hier die Herleitung.
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## Schritt 1: Welche Konvention benutzt Dokument 1 tatsächlich?
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Der Smolin-Zustand: $\rho_{\mathrm{Smo}}=\frac1{16}(I^{\otimes4}+X^{\otimes4}+Y^{\otimes4}+Z^{\otimes4})$.
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Direktes Nachrechnen der Korrelationstensor-Einträge $c_{i_1i_2i_3i_4}=\tr(\rho\,\sigma_{i_1}\otimes\sigma_{i_2}\otimes\sigma_{i_3}\otimes\sigma_{i_4})$ ergibt (über $\tr(\sigma_a\sigma_b)=2\delta_{ab}$, auch für $a=b=I$):
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$$c_{i_1i_2i_3i_4}=1 \text{ genau dann, wenn } i_1=i_2=i_3=i_4\in\{I,X,Y,Z\},\quad\text{sonst } 0.$$
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Es gibt also im *gesamten* Tensor nur drei nichttriviale Korrelationseinträge: $c_{XXXX}=c_{YYYY}=c_{ZZZZ}=1$.
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Jetzt teste ich, mit welcher Normierung Dokument 1s $\sqrt{2/3}$ (GHZ$_3$) bzw. $1/\sqrt7$ (Smolin) tatsächlich herauskommt. Zwei Kandidaten:
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- **(a) Voll orthonormierte Sektorbasis** (Norm jedes Zielbasisvektors $=\sqrt{d_{\bar a}}$, wie es die formale Definition in Abschnitt 2 nahelegt) → das ergibt für GHZ$_3$ und Smolin *nicht* die im Paper angegebenen Werte (ich habe das durchgerechnet, kommt auf $1/(2\sqrt3)$ bzw. $1/(4\sqrt7)$ raus – falsch).
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- **(b) Rohe $c$-Werte direkt als Matrixeinträge**, nur die *eine* globale Konstante $1/\sqrt{(d_a-1)(d_{\bar a}-1)}$ aus Gl. (combined-map) angewandt.
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Test mit (b) an GHZ$_3$: Zeile $X$ hat rohe Einträge $\langle XXX\rangle=1$ und $\langle XYY\rangle=-1$ → Zeilennorm $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$. Nach $/\sqrt3$: $\sqrt{2/3}$ — **genau Dokument 1s Wert.** ✓
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Also: Dokument 1 verwendet in der Praxis Konvention **(b)**, nicht die literal-orthonormierte Version aus Abschnitt 2.
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## Schritt 2: Smolin damit direkt nachrechnen
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**1|3-Schnitt** ($S=\{A\}$, ein Qubit): Zeile $X$ (Quellindex $X$) hat genau einen nichttrivialen Eintrag, bei Zielmuster $(X,X,X)$, Wert $c_{XXXX}=1$. Zeilennorm $=1$. Analog für Zeilen $Y,Z$. Drei orthogonale Zeilen, Norm je $1$.
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Normierung: $(d_a-1)(d_{\bar a}-1)=1\times7=7\Rightarrow$ Singulärwerte $=1/\sqrt7$ je drei.
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$$\|\mathcal M_a(\rho_{\mathrm{Smo}})\|_*=\frac{3}{\sqrt7}\approx1.134.$$
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**Genau Dokument 1s Wert.** ✓
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**2|2-Schnitt** ($S=\{A,B\}$): analog, Diagonalstruktur $(x,x)\!\to\!(x,x)$ etc., drei Einträge Betrag 1, Normierung $\sqrt{3\times3}=3$:
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$$\|\mathcal M_{AB}(\rho_{\mathrm{Smo}})\|_*=1.$$
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**Auch exakt Dokument 1s Wert** (saturiert, verletzt nicht).
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## Schritt 3: Abgleich mit Dokument 3s Lemma
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Dokument 3s Lemma liefert die Zeilennorm als $\sqrt{|\ker\varphi|}$ – **in genau der rohen $\sigma$-Konvention (b)**, die Dokument 1 tatsächlich verwendet (die Lemma-Aussage arbeitet direkt mit $\tr(\rho_H\sigma_{\vec i})\in\{0,1\}$, keine zusätzliche Umskalierung der Basisvektoren).
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Für Smolin ist $\varphi$ bijektiv in beiden Schnitten ⟹ $|\ker\varphi|=1$ ⟹ Zeilennorm $=\sqrt1=1$ — **das ist bereits der richtige Wert**, ohne jede weitere Umrechnung! Teilt man danach nur noch durch Dokument 1s eigene globale Konstante $\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}$ ($=\sqrt7$ bzw. $=3$), kommt man exakt auf $1/\sqrt7$ bzw. $1/3$ – wie oben.
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**Damit ist klar:** Die Formel $\sqrt{|\ker\varphi|}$ selbst ist korrekt und reproduziert Dokument 1 exakt. Der Fehler steckt konkret in Dokument 3s eigener Fußnote *"divide by $2^{n/2}$ for the convention used elsewhere in this note"* — diese Division ist überflüssig/falsch und sollte ersatzlos gestrichen werden. (Sie war vermutlich der Versuch, zwischen der wörtlich-orthonormierten Konvention (a) und der tatsächlich benutzten Konvention (b) zu vermitteln – aber Dokument 1 nutzt eben (b) direkt.)
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## Schritt 4: Der "4 Singulärwerte"-Satz in Dokument 3
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Der Satz *"φ is bijective (|ker φ|=1), giving 4 singular values equal to $1/2^2=0.25$"* hat **zwei** Fehler:
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1. **Falsche Anzahl:** $|\mathrm{im}\,\varphi|-1=4-1=3$, nicht 4 — genau nach demselben Muster, das im GHZ$_3$-Beispiel direkt darüber korrekt verwendet wird.
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2. **Falscher Wert:** $0.25$ stammt aus der fehlerhaften $2^{n/2}$-Division. Richtig sind zwei *verschiedene* Werte (der Satz vermischt beide Schnitte in eine Zahl): $1/\sqrt7\approx0{,}378$ für den 1|3-Schnitt und $1/3\approx0{,}333$ für den 2|2-Schnitt.
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## Fazit
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Dokument 3s mathematischer Kern (die Stabilizer-Degenerationsformel $\sqrt{|\ker\varphi|}$) ist **korrekt** und passt **exakt** zu Dokument 1 – aber die Normierungs-Fußnote am Ende des Lemmas ist überflüssig/falsch und muss raus, und der Smolin-Beispielsatz im Korollar sollte ersetzt werden durch etwa:
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> *"For the Smolin state, every $1|3$ and $2|2$ cut: $\varphi$ is bijective ($|\ker\varphi|=1$), giving $3$ singular values, equal to $1/\sqrt7$ (for $1|3$) or $1/3$ (for $2|2$) after the paper's normalization $\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}$ — identical in structure across all four inequivalent cuts."*
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Soll ich als Nächstes GHZ$_3$ nochmal in derselben Weise gegenprüfen (ich hab's oben schon nebenbei verifiziert, könnte es aber sauber als zweiten Beleg ausschreiben), oder gleich den bereinigten Text für Dokument 3 fertig formulieren?
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> Lass uns erst nochmal nachdenken. Wenn ich als Symmetrie nicht eine permutations Symmetrie habe,.sondern eine Rotationssymmetrie in bestimmten Parteien, könnten wir dann ähnliche Tricks anwenden? Also kontinuierliche Symmetrien?
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Ja, absolut – und das ist sogar der interessantere, allgemeinere Fall. Lass mich das sauber auseinanderziehen, weil hier zwei verschiedene Dinge zusammenspielen, die man leicht verwechselt.
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## Der Mechanismus selbst ist gar nicht an Permutationen gebunden
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Dokument 2s Proposition~1 ("Exact block-diagonality") braucht nur:
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$$\rho \text{ ist invariant unter } g\mapsto\bigotimes_{a\in P} U_g^{(a)}, \quad g\in G,$$
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für **irgendeine** kompakte Gruppe $G$, die durch lokale Unitäre wirkt. $G=SU(2)$ mit Rotationen ist ein Spezialfall davon, genau wie $G=$ Permutationsgruppe. Der Beweis ist reines Schur-Lemma und ist der Gruppe gegenüber völlig agnostisch. Das heißt konkret:
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- $G$ muss **nicht** auf allen Parteien nichttrivial wirken. Du kannst $U_g$ auf einer Teilmenge $R\subseteq P$ kollektiv rotieren lassen und auf $P\setminus R$ die Identität wirken lassen — das ist eine völlig legitime Gruppenwirkung.
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- Die "Cut wird als Mengenpartition erhalten"-Bedingung ist dabei automatisch erfüllt, egal wie $R$ relativ zu $S\mid S^c$ liegt (auch wenn $R$ den Schnitt überspannt), weil lokale Unitäre nie ändern, welche Partei zu welcher Seite gehört.
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Der einzige Knackpunkt ist: **$\rho$ muss diese Symmetrie tatsächlich besitzen.** Genau daran ist Dokument 2s Original-Beispiel gescheitert — GHZ$_3$ und Smolin sind schlicht nicht $SU(2)$-invariant unter kollektiver Rotation (ich hatte das letztes Mal nachgerechnet: schon eine reine $Z$-Kollektivdrehung zerstört $\rho_{GHZ_3}$). Das ist kein Einwand gegen den *Mechanismus*, sondern nur gegen die *Beispielwahl*.
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## Wo Rotationssymmetrie tatsächlich greift
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Zustände, die wirklich $SU(2)$-invariant (kollektiv oder auf einer Teilmenge) sind:
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- **Werner-/isotrope Zustände**: $\rho = \int_G dg\, U_g^{\otimes n}\,\rho_0\,(U_g^{\otimes n})^\dagger$ — jeder getwirlte Zustand ist per Konstruktion $G$-invariant.
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- **Singulett-artige Zustände** (totalsymmetrisch bzw. -antisymmetrisch unter kollektiver Rotation).
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- **Mischungen über einen festen Gesamtspin-Sektor** (maximal gemischt innerhalb eines $J$-Multipletts) — Dicke-*Zustände* selbst sind das nicht (sie sind nur $J_z$-Eigenzustände, nicht $SU(2)$-invariant), aber eine gleichverteilte Mischung über ein ganzes Multiplett wäre es.
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## Die wirklich interessante Nuance: Singleton vs. Cluster
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Hier wird's spannend, und es verbindet sich direkt mit Dokument 1s eigener Struktur:
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Für eine **einzelne** Quell-Partei ($|S|=1$, ein Qubit) ist $\V_0^{(S)}=\mathbb R^3$ automatisch $SU(2)$-irreduzibel (Spin-1-Darstellung) — das ist reine Geometrie, unabhängig vom Zustand. Genau das nutzte Dokument 2 aus, um "automatische" dreifache Entartung zu behaupten. Aber diese Irreduzibilität ist in gewissem Sinn *billig*: Sie sagt nichts Neues, weil es bei $|S|=1$ ohnehin nur eine mögliche Isotype gibt — der Trick liefert dort strukturell nichts über die Blockstruktur, was man nicht schon wusste.
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**Rotierst du dagegen einen Cluster** $R$ mit $|R|\ge2$ Parteien kollektiv, wird's erst wirklich nichttrivial: Der Bloch-Raum $\V_0^{(R)}$ zerfällt via Clebsch-Gordan,
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$$\underbrace{\tfrac12\otimes\cdots\otimes\tfrac12}_{|R|} = \bigoplus_J m_J\cdot J,$$
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in **mehrere** Isotypen (z. B. für 2 Qubits: Spin-1 ⊕ Spin-0, sprich Triplett ⊕ Singulett). Dann bekommst du eine echte, nicht-triviale Blockdiagonalisierung von $\mathcal M_S(\rho)$ mit mehreren *verschiedenen* reduzierten Karten $A_\lambda$ — genau das, was Dokument 2s Bullet 2 ("Diagnostic resolution") eigentlich verspricht: Man kann dann unterscheiden, ob die Verletzung des Cut-Kriteriums im symmetrischen (Triplett-) oder antisymmetrischen (Singulett-) Kanal einer Zwei-Parteien-Quelle sitzt.
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Das koppelt sich sauber an Dokument 1s **bigraduierte Cluster-Shadow-Maps** $\mathcal M_S$ (Abschnitt 4) statt an die Singleton-Version $\mathcal M_a$ — die Cluster-Konstruktion existiert im Paper ja bereits, sie wurde bloß noch nie mit einer Symmetriegruppe kombiniert.
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## Eine zweite Variante: Symmetrie nur auf der Quellseite → Auswahlregeln statt Entartung
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Wenn $G$ nur auf $S$ nichttrivial wirkt und auf $S^c$ trivial bleibt, verlangt die Äquivarianzbedingung, dass $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ auf jeder Nicht-Trivial-Isotype von $\V_0^{(S)}$ verschwinden **muss** (ein äquivarianter Operator von einer nichttrivialen Darstellung in die triviale Darstellung ist zwangsläufig null). Das liefert keine Entartung, sondern **erzwungenes Verschwinden** bestimmter Quellen-Kanäle — im Prinzip dasselbe Phänomen, das man beim Smolin-Beispiel schon sieht (nur dort aus Pauli-Support-Gründen statt aus Darstellungstheorie).
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## Praktischer Bonus: der Twirl-Trick aus Dokument 2s eigenem Bullet 4
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Falls du unbedingt bei GHZ$_3$/Smolin bleiben willst: Dokument 2 erwähnt selbst schon den Ausweg. Bilde $T_G(\rho)$ (z. B. Twirl über kollektive Rotation eines Zwei-Qubit-Quellclusters), werte den Block-Kriterium darauf aus — Verletzung auf $T_G(\rho)$ zertifiziert Verschränkung von $\rho$ (lokale Twirls erhalten Separierbarkeit), mit dem üblichen einseitigen Caveat, dass ein negatives Ergebnis auf $T_G(\rho)$ nichts über $\rho$ aussagt.
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**Kurz:** Dein Ansatz funktioniert, ist mathematisch sauber im bestehenden Rahmen verankert, und ist sogar *reicher* als das, was Dokument 2 ursprünglich vorführen wollte — vorausgesetzt, man wählt Beispielzustände, die die behauptete Symmetrie auch wirklich besitzen, und geht (für echten Mehrwert) zu Cluster-Quellen mit $|S|\ge2$ über statt bei der trivialen Singleton-Irreduzibilität stehenzubleiben.
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Willst du, dass ich als Nächstes ein konkretes Zwei-Qubit-Cluster-Beispiel (Triplett/Singulett-Aufspaltung) durchrechne, um zu zeigen, wie die Blockstruktur numerisch aussieht?
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> Kannst du kannst du den bereinigten text für die section aus Dokument 2 und 3 aufschreiben, noch ohne die Resultate aus dem letzten Take (kontinuierliche Symmetrien) einzubauen? Aber mit den anderen Korrekturen, die wir besprochen haben?
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% Cleaned, merged section combining "Section on states with symmetries"
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% and "Correction on symmetric states".
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% INTEGRATION NOTES (delete before final submission):
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% 1. Requires \label{thm:cut-bound} to be added to Theorem~1 in
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% Section~\ref{sec:cut-separable} of the main file (currently only
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% the equation eq:cut-bound is labeled, not the theorem itself).
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% Locate:
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% \begin{theorem}
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% Let $\rho$ be separable across the cut $a\mid\bar a$. Then
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% and change to:
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% \begin{theorem}
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% \label{thm:cut-bound}
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% Let $\rho$ be separable across the cut $a\mid\bar a$. Then
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% 2. Suggested placement: as a new section directly after
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% Section~\ref{sec:tensor-viewpoint} ("The tensor viewpoint") and
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% before "Outlook", since the text below treats the tensor-viewpoint
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% material as already established.
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\section{Symmetry-adapted block decomposition of the shadow map}
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\label{sec:symmetry-blocks}
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The constructions of Sections~\ref{sec:response-maps}--\ref{sec:multiparty-sources} treat the sector grading $V\subseteq S$, $T\subseteq S^c$ as the only available organizing structure on either side of a cut. When $\rho$ carries an additional symmetry --- exactly, or after an appropriate twirl --- this grading can be refined further, along representation-theoretic rather than combinatorial lines. The refinement is worth having for four distinct reasons, which we state before developing the formal statements, since they motivate different parts of what follows and are not equally strong.
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\begin{itemize}
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\item \emph{Explanatory power.} Several numerical facts already reported in this note --- the triple degeneracy of the singular values of $\mathcal M_a$ for $\GHZ_3$ (Section~\ref{sec:qubit-numerics}), the triple degeneracy at the Smolin state under both the $1\mid3$ and $2\mid2$ cuts (Section~\ref{sec:multiparty-sources}), and the rigid common value across all $38$ four-qubit graph states --- have so far been recorded as numerical observations. The block-diagonality and stabilizer-support results below show that such degeneracies are not coincidental: they are forced exactly, by two complementary mechanisms depending on whether $\rho$ is symmetry-invariant in a representation-theoretic sense or Pauli-diagonal in a stabilizer sense. This converts a family of separately verified numerical facts into structural statements.
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\item \emph{Diagnostic resolution.} The sub-block witnesses of Corollary~\ref{cor:sub-block} resolve a violation only down to the level of \emph{which parties} are involved ($V,T$). A representation-theoretic decomposition, where applicable, resolves it further, down to \emph{which symmetry channel} within a fixed $(V,T)$ sector is responsible --- for instance, whether a two-party source correlation block is carrying its signal in a totally symmetric or in an antisymmetric combination of its constituents. This is invisible to the party-indexed grading alone.
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\item \emph{Computational cost.} For a source or target cluster respecting a symmetry group $G$, an isotypic decomposition replaces one singular value decomposition on the full sector space by several independent, much smaller singular value decompositions on the multiplicity spaces $M_\lambda$, whose dimensions grow far more slowly than the ambient sector dimension as the cluster size increases. This is the natural computationally tractable foothold for the symmetric sub-family of the higher-order tensor construction discussed in the closing remark of Section~\ref{sec:tensor-viewpoint}.
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\item \emph{A one-sided extension via twirling.} If $\rho$ itself lacks the relevant symmetry but a twirl $T_G(\rho)$ is cheap to evaluate, entanglement detected on $T_G(\rho)$ certifies entanglement of $\rho$ (twirling by local unitaries preserves separability), so a block-diagonal criterion can serve as an inexpensive pre-test, with the standard one-sided caveat that a negative result on $T_G(\rho)$ is uninformative about $\rho$.
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\end{itemize}
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What this refinement does \emph{not} deliver is a numerically sharper detection threshold: Remark~\ref{rem:no-universal-sharpening} below shows that no universal, state-independent improvement over Theorems~\ref{thm:cut-bound} and \ref{thm:cluster-cut} exists at the level of an individual representation-theoretic block, except in the single-isotype case where the improvement is one of concentration rather than of threshold value.
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\subsection*{Setup}
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Let $G$ be a compact group acting on the system by local unitaries, $g\mapsto \bigotimes_{a\in P}U_g^{(a)}$, and suppose $\rho$ is $G$-invariant: $(\bigotimes_a U_g^{(a)})\,\rho\,(\bigotimes_a U_g^{(a)})^\dagger=\rho$ for all $g\in G$. Fix a cut $S\mid S^c$ preserved by $G$ as a set partition, so that $G$ acts on $\V_0^{(S)}$ and on $\V_0^{(S^c)}$ separately, via the adjoint representations $\mathrm{Ad}^{(S)}_g$, $\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g$. Decompose both traceless spaces into isotypic components,
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\begin{equation}
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\V_0^{(S)}=\bigoplus_\lambda M_\lambda^{(S)}\otimes V_\lambda,
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\qquad
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\V_0^{(S^c)}=\bigoplus_\lambda M_\lambda^{(S^c)}\otimes V_\lambda,
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\label{eq:isotypic-decomp}
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\end{equation}
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where $\lambda$ ranges over the irreducible representations of $G$ appearing on either side, $V_\lambda$ denotes a fixed model of the irreducible representation of dimension $d_\lambda$, and $M_\lambda^{(S)}$, $M_\lambda^{(S^c)}$ are the corresponding multiplicity spaces. This is exactly the same type of decomposition already used for the source and target sector gradings in Sections~\ref{sec:response-maps}--\ref{sec:multiparty-sources}, now taken with respect to a representation-theoretic rather than a combinatorial grading; the two coincide only in special cases.
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\begin{proposition}[Exact block-diagonality]
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\label{prop:block-diagonal}
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Under the hypotheses above, $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ is block diagonal with respect to the isotypic decomposition~\eqref{eq:isotypic-decomp}: writing $\Pi_\lambda^{(S^c)}$, $\Pi_\mu^{(S)}$ for the isotypic projections,
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\begin{equation*}
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\Pi_\lambda^{(S^c)}\,\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\,\Pi_\mu^{(S)}=0
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\qquad\text{whenever }\lambda\neq\mu,
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\end{equation*}
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exactly, not merely approximately or in a bound. Moreover, on the surviving diagonal blocks,
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\begin{equation}
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\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\big|_\lambda = A_\lambda\otimes\mathrm{id}_{V_\lambda}
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\label{eq:wigner-eckart}
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\end{equation}
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for a unique linear map $A_\lambda:M_\lambda^{(S)}\to M_\lambda^{(S^c)}$, the reduced shadow map at $\lambda$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$G$-invariance of $\rho$ gives $\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g\,\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)=\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\,\mathrm{Ad}^{(S)}_g$ for all $g$, i.e.\ $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ is a $G$-equivariant map between the two representations~\eqref{eq:isotypic-decomp}. Both claims are then Schur's lemma applied to the isotypic decomposition: equivariant maps vanish between inequivalent irreducible summands, and act as a fixed scalar multiple of the identity on the irreducible factor $V_\lambda$ within a matching pair, leaving exactly the freedom recorded in $A_\lambda$ on the multiplicity spaces.
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\end{proof}
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\subsection*{Exact formula and its consequence}
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\begin{proposition}[Reduced matrix element formula]
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\label{prop:reduced-formula}
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Let $\rho=T_G(\rho_S\otimes\sigma_{S^c})$ be the $G$-twirl of a product state across $S\mid S^c$, so $\rho$ is separable (a mixture, over $g\in G$, of product states) and $G$-invariant. Let $r^{(S)}\in\V_0^{(S)}$, $v_{S^c}\in\V_0^{(S^c)}$ be the traceless Bloch vectors of $\rho_S$, $\sigma_{S^c}$, with isotypic components $r_\lambda$, $v_\lambda$. Then
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\begin{equation}
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A_\lambda=\frac{1}{d_\lambda}\,\tilde v_\lambda\,\tilde r_\lambda^{\,T},
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\label{eq:reduced-element}
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\end{equation}
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where $\tilde r_\lambda$, $\tilde v_\lambda$ are $r_\lambda$, $v_\lambda$ reshaped as $(\dim M_\lambda^{(S)})\times d_\lambda$ and $(\dim M_\lambda^{(S^c)})\times d_\lambda$ matrices in a basis of $V_\lambda$ shared by both sides. Consequently,
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\begin{equation}
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\dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*\;\le\;\norm{r_\lambda}\,\norm{v_\lambda}.
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\label{eq:per-block-bound}
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\end{equation}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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For fixed $g$, the product term $(\mathrm{Ad}^{(S)}_g r^{(S)})(\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g v_{S^c})^T$ (unnormalized) is rank one, exactly as in the proof of Theorem~\ref{thm:cluster-cut}. Averaging over $g$ and expanding both factors in the isotypic bases gives, by the Schur orthogonality relation $\int_G D^\lambda(g)_{cb}D^\lambda(g)_{da}\,dg=\tfrac1{d_\lambda}\delta_{cd}\delta_{ab}$ for the (real, orthogonal) irreducible matrix elements $D^\lambda$, exactly Eq.~\eqref{eq:reduced-element} on each isotypic block, with all cross-$\lambda$ contributions vanishing by the same orthogonality relation applied to inequivalent irreducibles. Equation~\eqref{eq:per-block-bound} then follows from the standard nuclear-norm bound $\norm{AB}_*\le\norm{A}_\fro\norm{B}_\fro$ applied to Eq.~\eqref{eq:reduced-element}, using $\norm{\tilde r_\lambda}_\fro=\norm{r_\lambda}$, $\norm{\tilde v_\lambda}_\fro=\norm{v_\lambda}$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Consistency with the cut-separable bound]
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\label{cor:consistency}
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Under the hypotheses of Proposition~\ref{prop:reduced-formula},
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\begin{equation}
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\sum_\lambda \dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*
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\;\le\;
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\norm{r^{(S)}}\,\norm{v_{S^c}}
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\;\le\;
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\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)},
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\label{eq:cs-recovery}
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\end{equation}
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the first inequality by Cauchy--Schwarz over $\lambda$ applied to Eq.~\eqref{eq:per-block-bound}, and the second by the correlation-sum identity used in Theorem~\ref{thm:cluster-cut}. By linearity and convexity of the nuclear norm, Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} extends to arbitrary $G$-invariant separable states (finite or continuous mixtures of twirled product terms), recovering the bound of Theorem~\ref{thm:cluster-cut} through the block decomposition rather than around it.
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\end{corollary}
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\begin{remark}[No universal per-block sharpening, except by concentration]
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\label{rem:no-universal-sharpening}
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The first inequality in Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} is generically strict: equality in Cauchy--Schwarz requires $\norm{r_\lambda}\propto\norm{v_\lambda}$ across all $\lambda$, which independently chosen $\rho_S,\sigma_{S^c}$ have no reason to satisfy. A direct numerical check on a twirled random product state gives $\norm{\mathcal M_S(\rho)}_*=0.429$ against the bound $\norm{r^{(S)}}\norm{v_{S^c}}=0.750$ from Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} --- a strict, and generic, gap. Since Eq.~\eqref{eq:per-block-bound} bounds $\norm{r_\lambda}$ only by the global $\norm{r^{(S)}}^2\le d_S-1$, with no constraint on how the purity budget distributes across $\lambda$ for a generic $\rho_S$, no universal constant improving on $\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}$ holds for an individual block $\lambda$ in general.
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The exception is the case where $\V_0^{(S)}$ itself carries only a single isotypic component under $G$: then $r_\lambda=r^{(S)}$ trivially, the full purity budget sits in the one available block, and Eq.~\eqref{eq:per-block-bound} becomes
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\begin{equation*}
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\dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*\;\le\;\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)},
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\end{equation*}
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numerically identical to Theorem~\ref{thm:cut-bound}, but now a statement about a matrix of size $\dim M_\lambda^{(S^c)}\times1$ rather than the full target space. This single-isotype case is a genuine sharpening of concentration, not of threshold, and applies whenever $\rho$ is actually $G$-invariant for a group under which the source side is irreducible. It does \emph{not}, however, apply to the two states used to motivate this section: $\GHZ_3$ and the Smolin state carry no continuous collective symmetry (a direct check shows both fail to be invariant already under a one-parameter collective rotation), so the representation-theoretic mechanism above is not the explanation for their observed degeneracies. The correct explanation for those two states, and more generally for any Pauli-diagonal state, is combinatorial rather than representation-theoretic, and is developed next.
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\end{remark}
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\subsection*{Exact degeneracy from stabilizer structure}
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The degeneracies recorded for $\GHZ_3$, the Smolin state, and all $38$ four-qubit graph states share no continuous symmetry of the kind used above. Their common origin is instead a discrete, combinatorial fact about \emph{Pauli-diagonal} states, requiring only elementary group theory over $\mathbb F_2$, and it is this mechanism --- not Proposition~\ref{prop:block-diagonal} --- that is responsible for every degeneracy reported in Sections~\ref{sec:multiparty-sources} and~\ref{sec:qubit-numerics}.
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\paragraph{Setup.} Identify each single-party Pauli index with $\mathbb F_2^2$ via $I\mapsto(0,0)$, $X\mapsto(1,0)$, $Y\mapsto(1,1)$, $Z\mapsto(0,1)$, so that an $n$-party Pauli string $\sigma_{\vec i}$ corresponds to $\vec i\in\mathbb F_2^{2n}$, and string multiplication (up to phase) becomes addition. Let $H\le\mathbb F_2^{2n}$ be an isotropic subgroup (i.e.\ its elements pairwise commute as operators) not containing $-I$, and let
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\[
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\rho_H \;=\; \frac{\Pi_H}{\operatorname{rank}\Pi_H}, \qquad \Pi_H=\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H} h,
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\]
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the maximally mixed state on the joint $+1$-eigenspace of $H$ (a stabilizer code state; $\rho_H$ is pure iff $|H|=2^n$).
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\begin{lemma}[Support of a stabilizer-code state]
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\label{lem:code-support}
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$\operatorname{Tr}[\rho_H\,\sigma_{\vec i}] = \mathbb 1[\vec i\in H]$ for every $\vec i\in\mathbb F_2^{2n}$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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For $\vec i\in H$: $\Pi_H\sigma_{\vec i}=\Pi_H$ since $h\Pi_H=\Pi_H$ for every $h\in H$, so $\operatorname{Tr}[\Pi_H\sigma_{\vec i}]=\operatorname{Tr}[\Pi_H]=\operatorname{rank}\Pi_H$, giving $\operatorname{Tr}[\rho_H\sigma_{\vec i}]=1$. For $\vec i\notin H$: either $\sigma_{\vec i}$ anticommutes with some $h\in H$, whence $\operatorname{Tr}[\Pi_H\sigma_{\vec i}]=\operatorname{Tr}[h\Pi_H\sigma_{\vec i}]=-\operatorname{Tr}[\Pi_H\sigma_{\vec i}h]=-\operatorname{Tr}[\Pi_H\sigma_{\vec i}]$ (using $h\Pi_H=\Pi_H$ and cyclicity), forcing it to vanish; or $\sigma_{\vec i}$ commutes with all of $H$ without belonging to it (a logical operator), in which case it acts as a nonzero-weight, traceless operator on the logical subspace on which $\rho_H$ restricts to a multiple of the identity, again giving zero.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[Forced degeneracy of $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho_H)$]
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\label{lem:stabilizer-degeneracy}
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Let $S\mid S^c$ be a cut and let $\varphi:H\to\mathbb F_2^{2|S|}$, $\psi:H\to\mathbb F_2^{2|S^c|}$ be the two restriction homomorphisms, so that $H\hookrightarrow \mathbb F_2^{2|S|}\times\mathbb F_2^{2|S^c|}$ via $h\mapsto(\varphi(h),\psi(h))$. If $\psi$ is injective, then every nonzero row of $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho_H)$, expressed directly in the (non-orthonormal) raw Pauli-string basis $\{\sigma_{\vec i}\}$ on both sides --- the basis and normalization in which the correlation tensor $C_S(\rho)$ of Eq.~\eqref{eq:corr-tensor-def} and the combined shadow map $\mathcal M_S(\rho)$ of Definition~\ref{def:bigraduated} are actually computed --- has exactly $|\ker\varphi|$ nonzero entries, all of magnitude $1$, with pairwise disjoint column supports across distinct rows; consequently
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\[
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\widetilde{\mathcal M}_S(\rho_H) \text{ has exactly } |\operatorname{im}\varphi|-1 \text{ equal nonzero singular values, each } =\sqrt{|\ker\varphi|}.
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\]
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After the normalization of Eq.~\eqref{eq:bigraduated-map}, the singular values of $\mathcal M_S(\rho_H)$ are therefore
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\[
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\sqrt{\frac{|\ker\varphi|}{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}},
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\]
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with multiplicity $|\operatorname{im}\varphi|-1$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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By Lemma~\ref{lem:code-support}, the entry of $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho_H)$ at row $\vec j\in\mathbb F_2^{2|S|}\setminus\{0\}$, column $\vec k$, is $1$ if $(\vec j,\vec k)\in H$ and $0$ otherwise. For fixed $\vec j\in\operatorname{im}\varphi$, the set $\{\vec k:(\vec j,\vec k)\in H\}$ is a coset of $\ker\varphi$ under the group structure of $H$ (standard fiber property of a homomorphism), hence has size $|\ker\varphi|$, giving the row weight and (since all entries are $\pm1$ in magnitude by Lemma~\ref{lem:code-support}) equal row norm $\sqrt{|\ker\varphi|}$ for every nonzero row. If rows for $\vec j\neq\vec j'$ shared a nonzero column $\vec k$, then $(\vec j,\vec k),(\vec j',\vec k)\in H$ would give $(\vec j-\vec j',0)\in H$ with $\vec j\neq\vec j'$, i.e.\ a nontrivial element of $\ker\psi$ --- excluded by injectivity of $\psi$. Rows are thus pairwise orthogonal with equal norm, hence (after normalizing) already the right singular vectors, and the singular values are all equal to the common row norm. The final rescaling is exactly the normalization already applied in Eq.~\eqref{eq:bigraduated-map}.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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\label{cor:stabilizer-examples}
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The Lemma applies uniformly to pure stabilizer states ($|H|=2^n$, including all graph states and $\GHZ_n$) and to uniform mixtures over a stabilizer code space with $|H|<2^n$ (including the Smolin state, $H=\{IIII,XXXX,YYYY,ZZZZ\}$). Injectivity of $\psi$ holds automatically whenever $H$ contains no element supported entirely on $S$ --- checkable by inspection of the generators, without any Lie-group input.
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For $\GHZ_3$ with $S=\{1\}$: $H=\{III,XXX,ZZI,ZIZ,IZZ,YYX,YXY,XYY\}$ (up to signs), $|\ker\varphi|=2$, $|\operatorname{im}\varphi|=4$, $(d_S-1)(d_{S^c}-1)=1\times3=3$, giving $3$ singular values equal to $\sqrt{2/3}$ --- exactly the value reported in Section~\ref{sec:qubit-numerics}.
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For the Smolin state, every $1\mid3$ and $2\mid2$ cut has $\varphi$ bijective ($|\ker\varphi|=1$), so $|\operatorname{im}\varphi|-1=3$ in both cases --- bijectivity of $\varphi$ holds for \emph{any} nonempty proper subset $S$ of the four legs given this particular $H$. This gives $3$ equal singular values throughout, with value
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\[
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\sqrt{\frac{1}{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}}
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=
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\begin{cases}
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1/\sqrt7 & \text{for the } 1\mid3 \text{ cut } ((d_S-1)(d_{S^c}-1)=1\times7),\\[2pt]
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1/3 & \text{for the } 2\mid2 \text{ cut } ((d_S-1)(d_{S^c}-1)=3\times3),
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\end{cases}
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\]
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matching Section~\ref{sec:multiparty-sources} and Section~\ref{sec:qubit-numerics} exactly.
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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The $y$-parity grading occasionally useful for real-in-the-computational-basis states is the special case $H=\{I^{\otimes n}\}$ acting trivially --- more precisely, it is not itself an instance of this Lemma but a compatible, coarser $\mathbb Z_2$-grading that commutes with any $H$-decomposition and can be applied on top of it without modification.
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\end{remark}
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\begin{remark}[Two complementary mechanisms]
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\label{rem:two-mechanisms}
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Proposition~\ref{prop:block-diagonal} and Lemma~\ref{lem:stabilizer-degeneracy} are complementary, not competing, and apply under disjoint hypotheses. The representation-theoretic mechanism applies whenever $\rho$ is genuinely $G$-invariant under some compact group $G$ acting by local unitaries and preserving the cut, regardless of whether $\rho$ is Pauli-diagonal; it says nothing about states, such as a generic finite-group-symmetric state built from a permutation representation, that are not Pauli-diagonal. The stabilizer mechanism applies whenever $\rho$ is (a uniform mixture over) a stabilizer code state, regardless of whether it possesses any continuous symmetry at all --- as is the case for $\GHZ_n$, the Smolin state, and every graph state used elsewhere in this note, none of which is invariant under a nontrivial continuous collective symmetry. In the (comparatively narrow) overlap where a state is both $G$-invariant for some continuous $G$ and Pauli-diagonal, both mechanisms apply and constrain the same block structure from different directions; outside that overlap, exactly one of the two is available, and it is this Lemma, not Proposition~\ref{prop:block-diagonal}, that accounts for every numerically observed degeneracy reported so far in this note.
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\end{remark}
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@ -0,0 +1,92 @@
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\section{Symmetry-adapted block decomposition of the shadow map}
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\label{sec:symmetry-blocks}
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The constructions of Sections~\ref{sec:response-maps}--\ref{sec:multiparty-sources} treat the sector grading $V\subseteq S$, $T\subseteq S^c$ as the only available organizing structure on either side of a cut. When $\rho$ carries an additional symmetry --- exactly, or after an appropriate twirl --- this grading can be refined further, along representation-theoretic rather than combinatorial lines. The refinement is worth having for four distinct reasons, which we state before developing the formal statements, since they motivate different parts of what follows and are not equally strong.
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\begin{itemize}
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\item \emph{Explanatory power.} Several numerical facts already reported in this note --- the triple degeneracy of the singular values of $\mathcal M_a$ for $\GHZ_3$ (Section~\ref{sec:qubit-numerics}), the triple degeneracy at the Smolin state under both the $1\mid3$ and $2\mid2$ cuts (Section~\ref{sec:multiparty-sources}), and the rigid common value across all $38$ four-qubit graph states --- have so far been recorded as numerical observations. Proposition~\ref{prop:block-diagonal} below shows that such degeneracies are not coincidental: whenever the source side of a cut is symmetry-irreducible (offers only one isotypic component under the relevant group), the corresponding degeneracy is forced. This converts a family of separately verified numerical facts into one structural statement.
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\item \emph{Diagnostic resolution.} The sub-block witnesses of Corollary~\ref{cor:sub-block} resolve a violation only down to the level of \emph{which parties} are involved ($V,T$). The isotypic decomposition resolves it further, down to \emph{which symmetry channel} within a fixed $(V,T)$ sector is responsible --- for instance, whether a two-party source correlation block is carrying its signal in a totally symmetric or in an antisymmetric combination of its constituents. This is invisible to the party-indexed grading alone.
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|
\item \emph{Computational cost.} For a source or target cluster respecting a symmetry group $G$, the isotypic decomposition replaces one singular value decomposition on the full sector space by several independent, much smaller singular value decompositions on the multiplicity spaces $M_\lambda$, whose dimensions grow far more slowly than the ambient sector dimension as the cluster size increases. This is the natural computationally tractable foothold for the symmetric sub-family of the higher-order tensor construction discussed in the closing remark of Section~\ref{sec:tensor-viewpoint}.
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|
\item \emph{A one-sided extension via twirling.} If $\rho$ itself lacks the symmetry but a twirl $T_G(\rho)$ is cheap to evaluate, entanglement detected on $T_G(\rho)$ certifies entanglement of $\rho$ (twirling by local unitaries preserves separability), so the block-diagonal criterion below can serve as an inexpensive pre-test, with the standard one-sided caveat that a negative result on $T_G(\rho)$ is uninformative about $\rho$.
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\end{itemize}
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What this refinement does \emph{not} deliver is a numerically sharper detection threshold: Remark~\ref{rem:no-universal-sharpening} below shows that no universal, state-independent improvement over Theorems~\ref{thm:cut-bound} and \ref{thm:cluster-cut} exists at the level of an individual block, except in the single-isotype case where the improvement is one of concentration rather than of threshold value.
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\subsection*{Setup}
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Let $G$ be a compact group acting on the system by local unitaries, $g\mapsto \bigotimes_{a\in P}U_g^{(a)}$, and suppose $\rho$ is $G$-invariant: $(\bigotimes_a U_g^{(a)})\,\rho\,(\bigotimes_a U_g^{(a)})^\dagger=\rho$ for all $g\in G$. Fix a cut $S\mid S^c$ preserved by $G$ as a set partition, so that $G$ acts on $\V_0^{(S)}$ and on $\V_0^{(S^c)}$ separately, via the adjoint representations $\mathrm{Ad}^{(S)}_g$, $\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g$. Decompose both traceless spaces into isotypic components,
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\begin{equation}
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\V_0^{(S)}=\bigoplus_\lambda M_\lambda^{(S)}\otimes V_\lambda,
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\qquad
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\V_0^{(S^c)}=\bigoplus_\lambda M_\lambda^{(S^c)}\otimes V_\lambda,
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\label{eq:isotypic-decomp}
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\end{equation}
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where $\lambda$ ranges over the irreducible representations of $G$ appearing on either side, $V_\lambda$ denotes a fixed model of the irreducible representation of dimension $d_\lambda$, and $M_\lambda^{(S)}$, $M_\lambda^{(S^c)}$ are the corresponding multiplicity spaces. This is exactly the same type of decomposition already used for the source and target sector gradings in Sections~\ref{sec:response-maps}--\ref{sec:multiparty-sources}, now taken with respect to a representation-theoretic rather than a combinatorial grading; the two coincide only in the abelian, source-cluster-trivial special case worked out numerically at the start of this section.
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\begin{proposition}[Exact block-diagonality]
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\label{prop:block-diagonal}
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Under the hypotheses above, $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ is block diagonal with respect to the isotypic decomposition~\eqref{eq:isotypic-decomp}: writing $\Pi_\lambda^{(S^c)}$, $\Pi_\mu^{(S)}$ for the isotypic projections,
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\begin{equation*}
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\Pi_\lambda^{(S^c)}\,\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\,\Pi_\mu^{(S)}=0
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\qquad\text{whenever }\lambda\neq\mu,
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\end{equation*}
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exactly, not merely approximately or in a bound. Moreover, on the surviving diagonal blocks,
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\begin{equation}
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\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\big|_\lambda = A_\lambda\otimes\mathrm{id}_{V_\lambda}
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\label{eq:wigner-eckart}
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\end{equation}
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for a unique linear map $A_\lambda:M_\lambda^{(S)}\to M_\lambda^{(S^c)}$, the reduced shadow map at $\lambda$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$G$-invariance of $\rho$ gives $\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g\,\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)=\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)\,\mathrm{Ad}^{(S)}_g$ for all $g$, i.e.\ $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ is a $G$-equivariant map between the two representations~\eqref{eq:isotypic-decomp}. Both claims are then Schur's lemma applied to the isotypic decomposition: equivariant maps vanish between inequivalent irreducible summands, and act as a fixed scalar multiple of the identity on the irreducible factor $V_\lambda$ within a matching pair, leaving exactly the freedom recorded in $A_\lambda$ on the multiplicity spaces.
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\end{proof}
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\subsection*{Exact formula and its consequence}
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\begin{proposition}[Reduced matrix element formula]
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\label{prop:reduced-formula}
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Let $\rho=T_G(\rho_S\otimes\sigma_{S^c})$ be the $G$-twirl of a product state across $S\mid S^c$, so $\rho$ is separable (a mixture, over $g\in G$, of product states) and $G$-invariant. Let $r^{(S)}\in\V_0^{(S)}$, $v_{S^c}\in\V_0^{(S^c)}$ be the traceless Bloch vectors of $\rho_S$, $\sigma_{S^c}$, with isotypic components $r_\lambda$, $v_\lambda$. Then
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\begin{equation}
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A_\lambda=\frac{1}{d_\lambda}\,\tilde v_\lambda\,\tilde r_\lambda^{\,T},
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\label{eq:reduced-element}
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\end{equation}
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where $\tilde r_\lambda$, $\tilde v_\lambda$ are $r_\lambda$, $v_\lambda$ reshaped as $(\dim M_\lambda^{(S)})\times d_\lambda$ and $(\dim M_\lambda^{(S^c)})\times d_\lambda$ matrices in a basis of $V_\lambda$ shared by both sides. Consequently,
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\begin{equation}
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\dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*\;\le\;\norm{r_\lambda}\,\norm{v_\lambda}.
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\label{eq:per-block-bound}
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\end{equation}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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For fixed $g$, the product term $(\mathrm{Ad}^{(S)}_g r^{(S)})(\mathrm{Ad}^{(S^c)}_g v_{S^c})^T$ (unnormalized) is rank one, exactly as in the proof of Theorem~\ref{thm:cluster-cut}. Averaging over $g$ and expanding both factors in the isotypic bases gives, by the Schur orthogonality relation $\int_G D^\lambda(g)_{cb}D^\lambda(g)_{da}\,dg=\tfrac1{d_\lambda}\delta_{cd}\delta_{ab}$ for the (real, orthogonal) irreducible matrix elements $D^\lambda$, exactly Eq.~\eqref{eq:reduced-element} on each isotypic block, with all cross-$\lambda$ contributions vanishing by the same orthogonality relation applied to inequivalent irreducibles. Equation~\eqref{eq:per-block-bound} then follows from the standard nuclear-norm bound $\norm{AB}_*\le\norm{A}_\fro\norm{B}_\fro$ applied to Eq.~\eqref{eq:reduced-element}, using $\norm{\tilde r_\lambda}_\fro=\norm{r_\lambda}$, $\norm{\tilde v_\lambda}_\fro=\norm{v_\lambda}$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Consistency with the cut-separable bound]
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\label{cor:consistency}
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Under the hypotheses of Proposition~\ref{prop:reduced-formula},
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\begin{equation}
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\sum_\lambda \dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*
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\;\le\;
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\norm{r^{(S)}}\,\norm{v_{S^c}}
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\;\le\;
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\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)},
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\label{eq:cs-recovery}
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\end{equation}
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the first inequality by Cauchy--Schwarz over $\lambda$ applied to Eq.~\eqref{eq:per-block-bound}, and the second by the correlation-sum identity used in Theorem~\ref{thm:cluster-cut}. By linearity and convexity of the nuclear norm, Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} extends to arbitrary $G$-invariant separable states (finite or continuous mixtures of twirled product terms), recovering the bound of Theorem~\ref{thm:cluster-cut} through the block decomposition rather than around it.
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\end{corollary}
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\begin{remark}[No universal per-block sharpening, except by concentration]
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\label{rem:no-universal-sharpening}
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The first inequality in Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} is generically strict: equality in Cauchy--Schwarz requires $\norm{r_\lambda}\propto\norm{v_\lambda}$ across all $\lambda$, which independently chosen $\rho_S,\sigma_{S^c}$ have no reason to satisfy. A direct numerical check on a twirled random product state gives $\norm{\mathcal M_S(\rho)}_*=0.429$ against the bound $\norm{r^{(S)}}\norm{v_{S^c}}=0.750$ from Eq.~\eqref{eq:cs-recovery} --- a strict, and generic, gap. Since Eq.~\eqref{eq:per-block-bound} bounds $\norm{r_\lambda}$ only by the global $\norm{r^{(S)}}^2\le d_S-1$, with no constraint on how the purity budget distributes across $\lambda$ for a generic $\rho_S$, no universal constant improving on $\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)}$ holds for an individual block $\lambda$ in general.
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The exception is exactly the case relevant to Sections~\ref{sec:response-maps}--\ref{sec:multiparty-sources}: if $\V_0^{(S)}$ itself carries only a single isotypic component under $G$ --- as happens automatically for a singleton qubit source, whose traceless Bloch space is irreducible under collective $SU(2)$ --- then $r_\lambda=r^{(S)}$ trivially, the full purity budget sits in the one available block, and Eq.~\eqref{eq:per-block-bound} becomes
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\begin{equation*}
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\dim(V_\lambda)\,\norm{A_\lambda}_*\;\le\;\sqrt{(d_S-1)(d_{S^c}-1)},
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\end{equation*}
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numerically identical to Theorem~\ref{thm:cut-bound}, but now a statement about a matrix of size $\dim M_\lambda^{(S^c)}\times1$ rather than the full target space. This is precisely the mechanism forcing the triple degeneracies recorded for $\GHZ_3$ and the Smolin state: a single-isotype source leaves the reduced map $A_\lambda$ no room to be anything but a vector, so $\widetilde{\mathcal M}_S(\rho)$ can only ever have $\dim(V_\lambda)$ equal singular values, regardless of which particular symmetric state is chosen.
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\end{remark}
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\begin{remark}[Structural gradings beyond the chosen group]
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A numerical check on a state built from a real (in the computational basis) combination of permutation operators shows a further, unforced splitting inside a single $SU(2)$-isotypic block: sub-blocks distinguished by the parity of the number of $Y$-generators in the underlying Pauli string decouple exactly, because $\sigma_y^T=-\sigma_y$ forces $\tr(\rho\bigotimes_a\sigma_{i_a})=0$ whenever $\rho$ is real and the string contains an odd number of $y$-indices. This $\mathbb Z_2$ grading commutes with every construction in this note, costs nothing to check, and refines the block structure further whenever $\rho$ happens to be real in the chosen basis --- which holds for every graph state, $\GHZ_n$, $W_n$, Dicke state, and the Smolin state used elsewhere in this note.
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\end{remark}
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