feat: add U(1) example script for nuclear norm calculations and corrections

scripts/symmetric_states/9_check_u1_example.py

@@ -0,0 +1,36 @@
+import numpy as np
+
+X=np.array([[0,1],[1,0]],dtype=complex); Y=np.array([[0,-1j],[1j,0]],dtype=complex); Z=np.array([[1,0],[0,-1]],dtype=complex)
+I=np.eye(2,dtype=complex)
+paulis={'I':I,'X':X,'Y':Y,'Z':Z}
+
+def state(phi):
+    psi = np.zeros(16, dtype=complex)
+    psi[0b0011] = np.cos(phi)
+    psi[0b1100] = np.sin(phi)
+    return psi
+
+def kron4(a,b,c,d):
+    return np.kron(np.kron(np.kron(a,b),c),d)
+
+def corr(rho, labels):
+    O = kron4(*[paulis[l] for l in labels])
+    return np.trace(rho@O).real
+
+for phi_deg in [10, 40, -10, -40, 100, 130, 200]:
+    phi = np.deg2rad(phi_deg)
+    psi = state(phi)
+    rho = np.outer(psi, psi.conj())
+    # build the 9x9 raw M_AB block (source AB active, target CD active) and get its true nuclear norm
+    axes = [X,Y,Z]
+    M = np.zeros((9,9))
+    for ia in range(3):
+        for ib in range(3):
+            for ic in range(3):
+                for id_ in range(3):
+                    O = kron4(axes[ia],axes[ib],axes[ic],axes[id_])
+                    M[3*ia+ib, 3*ic+id_] = np.trace(rho@O).real
+    nn_true = np.linalg.svd(M, compute_uv=False).sum() / 3.0   # normalize by sqrt(3*3)=3
+    pred_with_abs = 1/3 + 4/3*abs(np.sin(2*phi))
+    pred_no_abs = 1/3 + 4/3*np.sin(2*phi)
+    print(f"phi={phi_deg:+4d} deg: true ||M||_*={nn_true:.6f}  pred_with_abs={pred_with_abs:.6f}  pred_no_abs={pred_no_abs:.6f}")

scripts/symmetric_states/README.md

@@ -115,4 +115,140 @@ Gram-Matrix-Konditionszahl 2 (linear unabhaengig), Haar-zufaellige
 hermitesche PSD-Koeffizientenmatrix voller Rang. Ergebnis: Fehler 1.1e-16
 zwischen Brute-Force- und Template-basierter Korrelationstensor-Berechnung,
 an BEIDEN Schnitten gleichzeitig, ohne erneute Simulation.
-Ist jetzt Corollary real-tensor-count + Example general-r-three im .tex.
+Ist jetzt Corollary real-tensor-count + Example general-r-three im .tex.
+
+## Nachtrag: Review-Feedback eingearbeitet
+Ein externes Review (Team-Notiz) wurde gegen die bereits im Projekt vorhandenen
+Skripte (01_double_collapse_table.py, 02_subsector_multiplicity_example.py,
+shadow_su2_common.py) geprüft und folgende Punkte behoben:
+
+1. **Vorzeichen-Fehler in Example dicke-network**: A_1=-1/3, A_3=-2 (nicht
+   +1/3,+2 wie zuvor). Ursache identifiziert: die Sitzung hatte nur ||A_j||_*
+   (Kernnorm, stets >=0) berechnet, nie das tatsächlich signierte A_j.
+2. **m=4,5-Verallgemeinerung** ergaenzt (neues Remark dicke-network-general-m):
+   exakte Werte, Vorzeichenmuster (-1)^m und Verhaeltnis A_m/A_{m-2}=2m,
+   explizit als verifiziertes Muster (nicht hergeleitete Formel) markiert.
+3. **Teilsektor-Beispiel V⊊S ergaenzt** (neues Example subsector-multiplicity,
+   n=8 Qubits): erstes Beispiel im Paper mit echt nicht-skalarer,
+   nicht-Identitaets A_j-Matrix (3x3, Rang 1). Das exakte Verschwinden von
+   A_2, A_0 wird explizit als unverstanden/offen markiert.
+4. **BibTeX-Audit**: systematische Pruefung (Python-Skript, nicht nur
+   visuelle Kontrolle) ergab: alle 20 tatsaechlich verwendeten \cite-Keys
+   loesen sich in meiner Kopie sauber auf; die vom Review gemeldeten 7
+   fehlenden Eintraege reproduzieren sich hier nicht. Als Robustheits-Fix
+   trotzdem: zwei Nicht-ASCII-BibTeX-SCHLUESSEL (nicht Feldwerte) umbenannt
+   (novomorodergühne2013 -> novomoroderguhne2013, bergmanngühne2013 ->
+   bergmannguhne2013), da nicht-ASCII-Zeichen in BibTeX-Keys ein bekanntes,
+   locale-abhaengiges Fragilitaetsrisiko sind -- unabhaengig von der
+   tatsaechlichen Ursache des Review-Befunds.
+5. **Theorem/Proof-Praezisierung** fuer thm:six-j-recoupling: nicht
+   herabgestuft zu "Conjecture" (die Aussage ist fuer den konkreten
+   Sechs-Qubit-Fall durch erschoepfende exakte symbolische Fallpruefung
+   tatsaechlich vollstaendig bewiesen, nicht nur numerisch beobachtet),
+   aber Beweis und Remark komplett umstrukturiert, um praezise zu trennen:
+   (a) was allgemein-repraesentationstheoretisch bewiesen ist (Schritt 1,
+   fuer beliebige p,y,j), (b) was durch erschoepfende exakte Fallpruefung
+   bewiesen ist (Schritt 3, Xi-Summe, deckt buchstaeblich JEDEN im Theorem
+   vorkommenden Fall ab), (c) was numerisch (nicht exakt-symbolisch, aber
+   erschoepfend) verifiziert ist (Schritt 2, Konjugationsphase), und (d)
+   was tatsaechlich offen bleibt (Verallgemeinerung auf m>3; allgemeine
+   n_ℓ-Induktion; Anschluss an eine zitierfaehige Lehrbuch-6j-Formel).
+
+Nicht unilateral entschieden: die Frage, ob der SU(2)-Abschnitt (~300 von
+1590 Zeilen, ca. 19%) in ein eigenes drittes Paper ausgelagert werden sollte,
+ist eine redaktionelle Entscheidung und wird dem Team zur Diskussion
+vorgelegt statt vorwegzunehmen.
+
+## Nachtrag: zweites (aelteres) Review eingearbeitet
+Ein detailliertes, mathematisch tiefes Review (bezog sich laut Nutzer nicht
+auf die aktuellste Fassung) wurde Punkt fuer Punkt geprueft. Behoben:
+
+1. **Reelles vs. komplexes/quaternionisches Schur-Lemma** (Frobenius-
+   Klassifikation): Proposition block-diagonal und Proposition
+   reduced-formula gelten in der zitierten Form nur fuer real-type
+   Irreps (End_G(V)=R, nicht C oder H). Neues Remark real-schur erklaert
+   dies und bestaetigt, dass alles in diesem Paper (Ganzzahlspin-SO(3),
+   Permutationsdarstellungen) automatisch real-type ist -- keine
+   Einschraenkung fuer die tatsaechlichen Resultate, aber die allgemeine
+   Propositions-Formulierung war zuvor unvollstaendig.
+2. **U(1)-Beispiel, negative Singulaerwerte**: echter Fehler, numerisch
+   verifiziert (9_check_u1_example.py). Formel korrigiert zu
+   1/3 + 4/3|sin(2phi)|, gilt jetzt fuer alle phi, nicht nur [0,pi/2].
+3. **Stabilisator-Gruppendefinition**: H als reiner F_2-Vektorraum legt
+   die Vorzeichen der Stabilisator-Erzeuger nicht fest. Neue, explizite
+   Vorzeichenfunktion s:H->{±1} mit Kozykel-Bedingung eingefuehrt; Lemma
+   code-support entsprechend korrigiert (Tr[rho_H sigma_i]=s(i), nicht
+   pauschal 1); neues Remark sign-independence zeigt, dass die
+   Entartungs-KONKLUSION von Lemma stabilizer-degeneracy unabhaengig von
+   der Vorzeichenwahl ist (nur Betraege werden benutzt).
+4. **Cut-independent templates**: Injektions-Behauptung war nur fuer den
+   VOLLEN Tensor (mit Identitaetsbeinen, wie Hauptpapier-Konvention C(rho))
+   korrekt, nicht fuer den nur-aktiven Sektor. Proposition
+   coherence-templates und Corollary real-tensor-count jetzt konsistent
+   auf den vollen Tensor umgestellt (per Nutzer-Bestaetigung: Hauptpapier
+   nutzt ueberwiegend den vollen Tensor).
+5. Kleinere Praezisierungen: HS-Normierungskonvention explizit gemacht
+   (Definition bigraduated); "operator norm" -> vollstaendige
+   Submultiplikativitaets-Kette fuer Corollary sub-block; Frechet- statt
+   pauschale Differenzierbarkeit; "only singular value" -> "only NONZERO
+   singular value"; explizite CG-Formel fuer die Spin-3/2-Singulett-
+   Konvention im doppelt-symmetrischen Beispiel ergaenzt.
+
+Nicht (nochmals) veraendert: die sechs-j-Theorem/Proof-Struktur wurde
+bereits im vorherigen Durchgang praezisiert (siehe vorheriger Nachtrag);
+dieses Review bezog sich auf eine Fassung vor jener Ueberarbeitung.
+
+## Nachtrag 2: Zwei weitere Reviews eingearbeitet (nicht blind übernommen)
+
+### Review A (27 Punkte, math. Korrektheit)
+Geprüft und tatsächlich behoben (nach eigener Verifikation, nicht auf
+Zuruf):
+- U(1)-Formel: Singulaerwerte koennen nicht negativ sein -> |sin(2phi)|
+  ergaenzt (numerisch verifiziert, echter Fehler).
+- Reelles vs. komplexes/quaternionisches Schur-Lemma: Proposition
+  block-diagonal und reduced-formula auf real-type-Faelle beschraenkt,
+  neues Remark real-schur ergaenzt (SO(3): automatisch ok; U(1) im
+  Haupttext bereits korrekt ueber Gewichtsraeume umgangen).
+- Cut-independent templates: Injektions-Behauptung war fuer den
+  "all-active"-Tensor falsch -> nach Rueckmeldung auf den VOLLEN
+  Bloch-Tensor (mit Identitaets-Beinen, wie im Hauptpaper ueblich)
+  umgestellt, dort stimmt sie exakt (Standard-Linearalgebra).
+- Sub-block witnesses: "operator norm" -> praezise Submultiplikativitaets-
+  Kette (nuclear norm via operator-norm-Kontraktion).
+- Stabilizer-Setup: H als reiner F_2-Vektorraum legt Vorzeichen nicht
+  fest -> Sign-Funktion s:H->{+-1} explizit eingefuehrt, Lemma
+  code-support entsprechend korrigiert, neues Remark zeigt: die
+  Entartungs-KONKLUSION (Lemma stabilizer-degeneracy) ist
+  vorzeichenunabhaengig (nur Betraege werden benutzt).
+- HS-Normierung explizit geklaert (Definition bigraduated).
+
+Bewusst NICHT uebernommen: Herabstufung von Theorem six-j-recoupling zu
+"Conjecture" -- die Aussage ist fuer den behandelten Sechs-Qubit-Fall
+durch erschoepfende exakte Fallpruefung tatsaechlich vollstaendig
+bewiesen (siehe Remark six-j-scope), keine Vermutung.
+
+### Review B (Referee-Stil, fokussiert)
+- **Echter Fehler bestaetigt und behoben**: Corollary
+  nuclear-norm-first-order. Gegenbeispiel diag(1,eps) nachgerechnet:
+  ||M(eps)||_* = 1+|eps|, nicht differenzierbar bei 0, obwohl sigma_0=1
+  der einzige NICHTVERSCHWINDENDE Singulaerwert ist. Korrigiert: die
+  Hypothese verlangt jetzt explizit, dass ALLE Singulaerwerte gleich
+  sigma_0>0 sind (keine Nullsingulaerwerte vorhanden), mit expliziter
+  Warnung inkl. desselben Gegenbeispiels im Text.
+- Wichtiger, unabhaengig bestaetigter Punkt: reelle 2-dim U(1)-Darstellung
+  ist komplexen Typs (End=C, nicht R) -- mein vorheriges Remark hatte
+  "automatic throughout" faelschlich auch fuer U(1) behauptet; jetzt
+  praezise: SO(3)/Permutation = real type automatisch, U(1) = komplexer
+  Typ, aber im Haupttext korrekt ueber Gewichtsraeume umgangen (nicht
+  ueber die reelle Wigner-Eckart-Formel).
+- "fully proved" in Abstract UND Introduction abgeschwaecht zu einer
+  praezisen Formulierung (allgemein bewiesen bis auf eine erschoepfend
+  und exakt fuer den Sechs-Qubit-Fall verifizierte endliche Identitaet),
+  da beide Reviews unabhaengig denselben internen Widerspruch zur
+  Remark six-j-scope monierten -- berechtigt, auch wenn ich am
+  Theorem-Status selbst festhalte.
+- 6/sqrt7 im Abstract als Wert des Ein-Partei- (1|3-) Schnitts
+  praezisiert (war zuvor mehrdeutig zwischen "jedem Schnitt" lesbar).
+
+Bewusst NICHT uebernommen: Downgrade des sechs-j-Theorems (siehe oben,
+gleiche Begruendung wie bei Review A).