# Scripts: S_m × SO(3) double collapse (fehlende Resultate im Entwurf)

Diese Skripte reproduzieren und erweitern `Example ex:dicke-network` /
`sec:sm-so3-combination` aus `shadow_maps_symmetric_states.tex`. Sie decken
genau die Ergebnisse ab, die in der Team-Notiz vom [Datum der Sitzung] als
"im Entwurf fehlend" markiert wurden.

## Dateien

- **`shadow_su2_common.py`** — gemeinsames Modul: Dicke-Zustände, der
  doppelt-symmetrische Zustand `|Q_m>`, Pauli-Operatoren, die
  Multinomial-Kollaps-Einbettung (Prop. `multinomial-collapse`), und die
  exakten Casimir-Projektoren + Blockstruktur-Check (Remark
  `casimir-projectors`, Cor. `projector-norm-formula`). Keine externen
  Abhängigkeiten außer NumPy.

- **`01_double_collapse_table.py`** — der volle aktive Block $M_{S\to S^c}$
  für $m=3,4,5$. Reproduziert das bestehende $m=3$-Beispiel im Paper und
  erweitert es auf $m=4,5$. Erzeugt die Tabelle der exakten $A_j$-Werte und
  prüft zwei Muster:
  - Vorzeichen $=(-1)^m$
  - Top-Verhältnis $A_m/A_{m-2}=2m$ exakt

  **Achtung:** Die Werte hier sind $A_1=-1/3$, $A_3=-2$ für $m=3$ —
  **negativ**. Der aktuelle Paper-Entwurf gibt $A_1=+1/3$, $A_3=+2$ an
  (positiv). Für dieselbe Zustandsdefinition sollte das Vorzeichen aber
  eindeutig sein (kein Freiheitsgrad einer globalen Phase, da es sich um
  einen Erwartungswert handelt). Bitte vor Übernahme ins Paper gegenprüfen —
  betrifft nicht die im Text gezogene Konsequenz $3A_1+7A_3=15$, die nur
  $|A_j|$ benutzt.

- **`02_subsector_multiplicity_example.py`** — der Teilsektor-Fall
  $V=\{A,B,C\}\subsetneq S=\{A,B,C,D\}$ (ein "Zuschauer"-Qubit $D$), analog
  auf der Zielseite. Im Unterschied zu `01` lebt $V$ hier in der vollen,
  nicht symmetrisierten $(\mathbb R^3)^{\otimes3}$ mit Multiplizitäten
  $m_j=1,3,2,1$ für $j=0,1,2,3$. Ergebnis:
  - $j=3$: skalar, $A_3=-0.8$ (Multiplizität 1, wie erwartet)
  - $j=2$: **verschwindet identisch** (nicht nur klein — exakt Null,
    unerklärt, siehe unten)
  - $j=1$: **echte, nicht-skalare $3\times3$-Matrix**, Rang 1 (ein
    Singulärwert $0{,}3$, dreifach über die Multiplizität)
  - $j=0$: exakt Null

  Das ist im aktuellen Entwurf komplett unbehandelt — bisher zeigt das
  Paper nur den multiplizitätsfreien Fall $V=S$, bei dem $A_j$ zwangsläufig
  skalar ist. Dieses Beispiel ist der erste konkrete Beleg für echte
  Multiplizitätsraum-Struktur am doppelt-symmetrischen Zustand.

## Offene Punkte (nicht in den Skripten gelöst)

1. **Geschlossene Form für $A_j(m)$**: Nur numerisch gemustert (Tabelle in
   `01`), nicht hergeleitet. Nächster Schritt wäre eine saubere
   Clebsch-Gordan-Herleitung via `sympy` (z. B. über den "gestreckten
   Zustand"-Trick), nicht durch Raten aus den drei Datenpunkten.
2. **Warum verschwinden $j=2,0$ im Teilsektor-Beispiel (`02`)?** Exakt
   Null, nicht nur klein — deutet auf eine zusätzliche Auswahlregel hin
   (Parität? Eigenschaft der spezifischen $Q_4$-Konstruktion?). Nicht
   untersucht.
3. Das Vorzeichen-Problem oben (Punkt zu `01`) sollte geklärt werden, bevor
   das Beispiel im Paper erweitert wird.

## Ausführen

```bash
pip install -r requirements.txt
python3 01_double_collapse_table.py
python3 02_subsector_multiplicity_example.py
```

Beide Skripte sind eigenständig lauffähig (importieren nur
`shadow_su2_common.py` aus demselben Verzeichnis) und laufen jeweils in
wenigen Sekunden.