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# Scripts: S_m × SO(3) double collapse (fehlende Resultate im Entwurf)
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Diese Skripte reproduzieren und erweitern `Example ex:dicke-network` /
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`sec:sm-so3-combination` aus `shadow_maps_symmetric_states.tex`. Sie decken
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genau die Ergebnisse ab, die in der Team-Notiz vom [Datum der Sitzung] als
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"im Entwurf fehlend" markiert wurden.
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## Dateien
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- **`shadow_su2_common.py`** — gemeinsames Modul: Dicke-Zustände, der
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doppelt-symmetrische Zustand `|Q_m>`, Pauli-Operatoren, die
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Multinomial-Kollaps-Einbettung (Prop. `multinomial-collapse`), und die
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exakten Casimir-Projektoren + Blockstruktur-Check (Remark
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`casimir-projectors`, Cor. `projector-norm-formula`). Keine externen
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Abhängigkeiten außer NumPy.
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- **`01_double_collapse_table.py`** — der volle aktive Block $M_{S\to S^c}$
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für $m=3,4,5$. Reproduziert das bestehende $m=3$-Beispiel im Paper und
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erweitert es auf $m=4,5$. Erzeugt die Tabelle der exakten $A_j$-Werte und
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prüft zwei Muster:
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- Vorzeichen $=(-1)^m$
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- Top-Verhältnis $A_m/A_{m-2}=2m$ exakt
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**Achtung:** Die Werte hier sind $A_1=-1/3$, $A_3=-2$ für $m=3$ —
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**negativ**. Der aktuelle Paper-Entwurf gibt $A_1=+1/3$, $A_3=+2$ an
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(positiv). Für dieselbe Zustandsdefinition sollte das Vorzeichen aber
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eindeutig sein (kein Freiheitsgrad einer globalen Phase, da es sich um
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einen Erwartungswert handelt). Bitte vor Übernahme ins Paper gegenprüfen —
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betrifft nicht die im Text gezogene Konsequenz $3A_1+7A_3=15$, die nur
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$|A_j|$ benutzt.
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- **`02_subsector_multiplicity_example.py`** — der Teilsektor-Fall
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$V=\{A,B,C\}\subsetneq S=\{A,B,C,D\}$ (ein "Zuschauer"-Qubit $D$), analog
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auf der Zielseite. Im Unterschied zu `01` lebt $V$ hier in der vollen,
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nicht symmetrisierten $(\mathbb R^3)^{\otimes3}$ mit Multiplizitäten
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$m_j=1,3,2,1$ für $j=0,1,2,3$. Ergebnis:
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- $j=3$: skalar, $A_3=-0.8$ (Multiplizität 1, wie erwartet)
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- $j=2$: **verschwindet identisch** (nicht nur klein — exakt Null,
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unerklärt, siehe unten)
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- $j=1$: **echte, nicht-skalare $3\times3$-Matrix**, Rang 1 (ein
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Singulärwert $0{,}3$, dreifach über die Multiplizität)
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- $j=0$: exakt Null
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Das ist im aktuellen Entwurf komplett unbehandelt — bisher zeigt das
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Paper nur den multiplizitätsfreien Fall $V=S$, bei dem $A_j$ zwangsläufig
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skalar ist. Dieses Beispiel ist der erste konkrete Beleg für echte
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Multiplizitätsraum-Struktur am doppelt-symmetrischen Zustand.
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## Offene Punkte (nicht in den Skripten gelöst)
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1. **Geschlossene Form für $A_j(m)$**: Nur numerisch gemustert (Tabelle in
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`01`), nicht hergeleitet. Nächster Schritt wäre eine saubere
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Clebsch-Gordan-Herleitung via `sympy` (z. B. über den "gestreckten
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Zustand"-Trick), nicht durch Raten aus den drei Datenpunkten.
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2. **Warum verschwinden $j=2,0$ im Teilsektor-Beispiel (`02`)?** Exakt
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Null, nicht nur klein — deutet auf eine zusätzliche Auswahlregel hin
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(Parität? Eigenschaft der spezifischen $Q_4$-Konstruktion?). Nicht
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untersucht.
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3. Das Vorzeichen-Problem oben (Punkt zu `01`) sollte geklärt werden, bevor
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das Beispiel im Paper erweitert wird.
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## Ausführen
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```bash
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pip install -r requirements.txt
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python3 01_double_collapse_table.py
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python3 02_subsector_multiplicity_example.py
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```
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Beide Skripte sind eigenständig lauffähig (importieren nur
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`shadow_su2_common.py` aus demselben Verzeichnis) und laufen jeweils in
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wenigen Sekunden.
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