quantum-shadow-maps_v2/scripts/symmetric_states/README.md

Shadow maps / symmetric states — numerical scripts

Ausführungsreihenfolge (jedes Skript liest die .npy/.npz-Dateien des vorigen):

1. 1_recoupling_check.py

Baut die zwei Basiszustände (6 Qubits, Singulett-Netzwerke mit den Paarungen (A,D)(B,E)(C,F) bzw. (A,E)(B,F)(C,D)) und deren volle Korrelationstensoren T1, T2 sowie den Kohärenz-Kreuzterm C12. Verifiziert per Brute-Force-Quantensimulation (unabhängig, für mehrere Werte von alpha), dass für JEDE kohärente Überlagerung |Xi(alpha)> = (cos(alpha) psi1 + sin(alpha) psi2)/norm der volle Korrelationstensor exakt T(Xi) = [cos^2(a) T1 + sin^2(a) T2 + cos(a)sin(a) C12] / N2 ist -- UND dass diese drei festen Tensoren (unabhängig von alpha UND unabhängig vom gewählten Schnitt!) per einfachem .reshape() sowohl den Schnitt ABC|DEF (27x27) als auch AB|CDEF (9x81) liefern, exakt übereinstimmend mit unabhängiger Brute-Force-Simulation für jeden Schnitt. Output: T1.npy, T2.npy, C12.npy

2. 2_exact_casimir_projectors.py

Baut die exakten SO(3)-Spin-1-Generatoren J_x,J_y,J_z symbolisch mit sympy (Levi-Civita-Definition), verifiziert die so(3)-Kommutatorrelation und J^2=2*I_3 symbolisch exakt. Konstruiert dann den totalen Casimir-Operator J^2_total auf (R^3)^{⊗k} für k=2,3,4 und diagonalisiert ihn (numpy, Hermitesch, maschinengenau). Die Eigenräume zu Eigenwert j(j+1) SIND per Definition die Isotypen-Projektoren -- exakt, ohne Monte-Carlo-Integration über SO(3) wie in einer früheren Version. Output: projectors_exact.npz

3. 3_apply_exact_projectors.py

Wendet die exakten Projektoren auf T1, T2, C12 an (für beliebiges alpha, beliebigen Schnitt) und berechnet ||A_j||* pro Drehimpulssektor j, für zwei Beispielzustände und beide Schnitte (ABC|DEF und AB|CDEF). Bestätigt exakte Additivität sum_j (2j+1)||A_j||* = ||M||_*.

Kontext

Diese Skripte gehören zur Diskussion der Frage, wie die bigraduierte Shadow Map M_S(rho) sich unter globaler kollektiver SO(3)-Symmetrie in Drehimpuls-Isotypen zerlegt (Erweiterung von symmetric_shadow_maps_formal.tex / shadow_maps_symmetric_states.tex um die Rotationssymmetrie-Seite neben der bereits behandelten S_m-Permutationssymmetrie), und wie sich diese Zerlegung zwischen verschiedenen Schnitten desselben global-invarianten Zustands umrechnen lässt (siehe Skript 1: EIN Tripel (T1,T2,C12) liefert JEDEN Schnitt per reshape, ohne erneute Kontraktion über den vollen Hilbertraum).

4. 4_spherical_basis.py

Baut eine Condon-Shortley-konsistente sphärische Basis {|1,-1>,|1,0>,|1,+1>} für ein einzelnes Spin-1-Bein über Leiteroperatoren (nicht aus einer memorierten Formel zitiert), ausgehend von den exakten Cartesischen Generatoren. Validiert Kommutatoren, Normierung, Jz-Eigenwerte.

5. 5_six_j_recoupling.py

Baut die gekoppelten Basen |p,j,m>_ABC (Baum (AB)C), |y,j,m>_DEF (Baum (DE)F) und |y,j,p,m>_CDEF (Baum (C,(DE)F)) via sympy-Clebsch-Gordan- Koeffizienten. Extrahiert die reduzierten Matrixelemente A_j^(1)[p,y] (Schnitt ABC|DEF) und A_p^(2)[y,j] (Schnitt AB|CDEF) für zwei Zustände und findet empirisch (numerisch bis auf 1e-6, an 15 unabhaengigen Datenpunkten): A_p^(2)[y,j] = -sqrt((2j+1)/(2p+1)) * A_j^(1)[p,y] (unabhaengig von y!) Das ist die 6j-Rekopplungsformel zwischen den A_j-Bloecken zweier verschiedener Schnitte desselben invarianten Tensors -- numerisch bewiesen, aber NICHT sauber gegen eine Standard-Lehrbuch-6j-Formel identifiziert (siehe verify_6j.py / search_6j.py Versuche, beide mit Konventions-Mismatch). Das ist die offene Baustelle.

6. 6_six_j_recoupling_proof.py (SUPERSEDES the earlier 5_six_j_recoupling.py)

Vollstaendiger, verifizierter Beweis der Rekopplungsformel zwischen den reduzierten Bloecken A_j^(1) (Schnitt ABC|DEF) und A_p^(2) (Schnitt AB|CDEF) desselben invarianten Tensors: A_p^(2)[y,j] = -sqrt((2j+1)/(2p+1)) * A_j^(1)[p,y] (y-unabhaengig!) Kernschritte (jeder einzeln verifiziert): (1) Schur-Lemma KORREKT auf die bilineare (nicht sesquilineare) Paarung angewandt -- die Transponierte einer Wigner-D-Matrix haengt ueber die Metrik C_j (nicht D selbst) mit der Inversen zusammen; das war der Fehler im ersten Versuch. (2) Exakte Konjugationsphase fuer CG-gekoppelte Multipletts: conj(v_{J,m}) = (-1)^(J+n_leg) * (-1)^m * v_{J,-m} (n_leg = Anzahl der elementaren Spin-1-Beine im Baum), verifiziert fuer n_leg=3 und n_leg=4. (3) Eine endliche CG-Summe Xi(p,j,m'), exakt symbolisch (sympy) zu sqrt((2j+1)/(2p+1)) ausgewertet, m'-unabhaengig, fuer alle p,j<=3. (4) End-to-End-Kreuzcheck gegen Brute-Force-Quantensimulation: Fehler 2.2e-16 (Maschinengenauigkeit). Offen (siehe Kommentare im Skript und rem:six-j-scope im .tex): die allgemeine (nicht nur p,j<=3) geschlossene Form von Xi als zitierfaehiges Standard-6j-Symbol wurde nicht identifiziert (zwei Versuche dazu blieben erfolglos, siehe search_6j.py-Fragmente); ebenso ist Gl. (2) nur verifiziert, nicht fuer allgemeines n_leg induktiv hergeleitet.

7. 7_combined_sm_so3_collapse.py

Kombiniert S_m-Permutationssymmetrie mit voller kollektiver SO(3)-Symmetrie an einem konkreten 6-Qubit-Beispiel: |Q> = kanonische Invariante zweier gekoppelter Spin-3/2-Dicke-Multipletts auf ABC und DEF (Gl. eq:dicke-network-state im .tex). Verifiziert:

• |Q> ist exakt kollektiv-rotationsinvariant (|<Q|U^6|Q>|=1 exakt).
• Innerhalb des 10-dim S_3-symmetrischen Unterraums (Typ-Basis u_alpha, Sym^3(C^3)) zeigt der Casimir NUR j=1 (x3) und j=3 (x7) -- j=0,2 komplett abwesend, multiplizitätsfrei wie klassisch vorhergesagt.
• Die gesamte Kernnorm (15.0) lebt exakt im doppelt-symmetrischen Sektor (Norm ausserhalb: 7e-15).
• Konkrete Skalarwerte: A_1=1/3, A_3=2, mit 3A_1+7A_3=15 exakt. Ist jetzt Proposition harmonic-decomposition + Example dicke-network im .tex (Abschnitt sec:sm-so3-combination).

8. 8_general_r_check.py

Schliesst die letzte offene TODO im Abschnitt: verallgemeinert die Cut-unabhaengige Template-Aussage (Proposition coherence-templates) von r=2 auf r=3, mit einem ECHT GEMISCHTEN (volle Rang-3, nicht reine Ueberlagerung) Zustand. Korrigiert nebenbei einen Zaehlfehler im urspruenglichen TODO-Kommentar: die Anzahl unabhaengiger reeller Tensoren ist r^2 (= reelle Dimension hermitescher r x r Matrizen), nicht r(r+1)/2. Drei verschiedene Perfect-Matchings von 6 Qubits als Basis-Zustaende, Gram-Matrix-Konditionszahl 2 (linear unabhaengig), Haar-zufaellige hermitesche PSD-Koeffizientenmatrix voller Rang. Ergebnis: Fehler 1.1e-16 zwischen Brute-Force- und Template-basierter Korrelationstensor-Berechnung, an BEIDEN Schnitten gleichzeitig, ohne erneute Simulation. Ist jetzt Corollary real-tensor-count + Example general-r-three im .tex.

Nachtrag: Review-Feedback eingearbeitet

Ein externes Review (Team-Notiz) wurde gegen die bereits im Projekt vorhandenen Skripte (01_double_collapse_table.py, 02_subsector_multiplicity_example.py, shadow_su2_common.py) geprüft und folgende Punkte behoben:

1. Vorzeichen-Fehler in Example dicke-network: A_1=-1/3, A_3=-2 (nicht +1/3,+2 wie zuvor). Ursache identifiziert: die Sitzung hatte nur ||A_j||_* (Kernnorm, stets >=0) berechnet, nie das tatsächlich signierte A_j.
2. m=4,5-Verallgemeinerung ergaenzt (neues Remark dicke-network-general-m): exakte Werte, Vorzeichenmuster (-1)^m und Verhaeltnis A_m/A_{m-2}=2m, explizit als verifiziertes Muster (nicht hergeleitete Formel) markiert.
3. Teilsektor-Beispiel V⊊S ergaenzt (neues Example subsector-multiplicity, n=8 Qubits): erstes Beispiel im Paper mit echt nicht-skalarer, nicht-Identitaets A_j-Matrix (3x3, Rang 1). Das exakte Verschwinden von A_2, A_0 wird explizit als unverstanden/offen markiert.
4. BibTeX-Audit: systematische Pruefung (Python-Skript, nicht nur visuelle Kontrolle) ergab: alle 20 tatsaechlich verwendeten \cite-Keys loesen sich in meiner Kopie sauber auf; die vom Review gemeldeten 7 fehlenden Eintraege reproduzieren sich hier nicht. Als Robustheits-Fix trotzdem: zwei Nicht-ASCII-BibTeX-SCHLUESSEL (nicht Feldwerte) umbenannt (novomorodergühne2013 -> novomoroderguhne2013, bergmanngühne2013 -> bergmannguhne2013), da nicht-ASCII-Zeichen in BibTeX-Keys ein bekanntes, locale-abhaengiges Fragilitaetsrisiko sind -- unabhaengig von der tatsaechlichen Ursache des Review-Befunds.
5. Theorem/Proof-Praezisierung fuer thm:six-j-recoupling: nicht herabgestuft zu "Conjecture" (die Aussage ist fuer den konkreten Sechs-Qubit-Fall durch erschoepfende exakte symbolische Fallpruefung tatsaechlich vollstaendig bewiesen, nicht nur numerisch beobachtet), aber Beweis und Remark komplett umstrukturiert, um praezise zu trennen: (a) was allgemein-repraesentationstheoretisch bewiesen ist (Schritt 1, fuer beliebige p,y,j), (b) was durch erschoepfende exakte Fallpruefung bewiesen ist (Schritt 3, Xi-Summe, deckt buchstaeblich JEDEN im Theorem vorkommenden Fall ab), (c) was numerisch (nicht exakt-symbolisch, aber erschoepfend) verifiziert ist (Schritt 2, Konjugationsphase), und (d) was tatsaechlich offen bleibt (Verallgemeinerung auf m>3; allgemeine n_ℓ-Induktion; Anschluss an eine zitierfaehige Lehrbuch-6j-Formel).

Nicht unilateral entschieden: die Frage, ob der SU(2)-Abschnitt (~300 von 1590 Zeilen, ca. 19%) in ein eigenes drittes Paper ausgelagert werden sollte, ist eine redaktionelle Entscheidung und wird dem Team zur Diskussion vorgelegt statt vorwegzunehmen.

Nachtrag: zweites (aelteres) Review eingearbeitet

Ein detailliertes, mathematisch tiefes Review (bezog sich laut Nutzer nicht auf die aktuellste Fassung) wurde Punkt fuer Punkt geprueft. Behoben:

1. Reelles vs. komplexes/quaternionisches Schur-Lemma (Frobenius- Klassifikation): Proposition block-diagonal und Proposition reduced-formula gelten in der zitierten Form nur fuer real-type Irreps (End_G(V)=R, nicht C oder H). Neues Remark real-schur erklaert dies und bestaetigt, dass alles in diesem Paper (Ganzzahlspin-SO(3), Permutationsdarstellungen) automatisch real-type ist -- keine Einschraenkung fuer die tatsaechlichen Resultate, aber die allgemeine Propositions-Formulierung war zuvor unvollstaendig.
2. U(1)-Beispiel, negative Singulaerwerte: echter Fehler, numerisch verifiziert (9_check_u1_example.py). Formel korrigiert zu 1/3 + 4/3|sin(2phi)|, gilt jetzt fuer alle phi, nicht nur [0,pi/2].
3. Stabilisator-Gruppendefinition: H als reiner F_2-Vektorraum legt die Vorzeichen der Stabilisator-Erzeuger nicht fest. Neue, explizite Vorzeichenfunktion s:H->{±1} mit Kozykel-Bedingung eingefuehrt; Lemma code-support entsprechend korrigiert (Tr[rho_H sigma_i]=s(i), nicht pauschal 1); neues Remark sign-independence zeigt, dass die Entartungs-KONKLUSION von Lemma stabilizer-degeneracy unabhaengig von der Vorzeichenwahl ist (nur Betraege werden benutzt).
4. Cut-independent templates: Injektions-Behauptung war nur fuer den VOLLEN Tensor (mit Identitaetsbeinen, wie Hauptpapier-Konvention C(rho)) korrekt, nicht fuer den nur-aktiven Sektor. Proposition coherence-templates und Corollary real-tensor-count jetzt konsistent auf den vollen Tensor umgestellt (per Nutzer-Bestaetigung: Hauptpapier nutzt ueberwiegend den vollen Tensor).
5. Kleinere Praezisierungen: HS-Normierungskonvention explizit gemacht (Definition bigraduated); "operator norm" -> vollstaendige Submultiplikativitaets-Kette fuer Corollary sub-block; Frechet- statt pauschale Differenzierbarkeit; "only singular value" -> "only NONZERO singular value"; explizite CG-Formel fuer die Spin-3/2-Singulett- Konvention im doppelt-symmetrischen Beispiel ergaenzt.

Nicht (nochmals) veraendert: die sechs-j-Theorem/Proof-Struktur wurde bereits im vorherigen Durchgang praezisiert (siehe vorheriger Nachtrag); dieses Review bezog sich auf eine Fassung vor jener Ueberarbeitung.

Nachtrag 2: Zwei weitere Reviews eingearbeitet (nicht blind übernommen)

Review A (27 Punkte, math. Korrektheit)

Geprüft und tatsächlich behoben (nach eigener Verifikation, nicht auf Zuruf):

• U(1)-Formel: Singulaerwerte koennen nicht negativ sein -> |sin(2phi)| ergaenzt (numerisch verifiziert, echter Fehler).
• Reelles vs. komplexes/quaternionisches Schur-Lemma: Proposition block-diagonal und reduced-formula auf real-type-Faelle beschraenkt, neues Remark real-schur ergaenzt (SO(3): automatisch ok; U(1) im Haupttext bereits korrekt ueber Gewichtsraeume umgangen).
• Cut-independent templates: Injektions-Behauptung war fuer den "all-active"-Tensor falsch -> nach Rueckmeldung auf den VOLLEN Bloch-Tensor (mit Identitaets-Beinen, wie im Hauptpaper ueblich) umgestellt, dort stimmt sie exakt (Standard-Linearalgebra).
• Sub-block witnesses: "operator norm" -> praezise Submultiplikativitaets- Kette (nuclear norm via operator-norm-Kontraktion).
• Stabilizer-Setup: H als reiner F_2-Vektorraum legt Vorzeichen nicht fest -> Sign-Funktion s:H->{+-1} explizit eingefuehrt, Lemma code-support entsprechend korrigiert, neues Remark zeigt: die Entartungs-KONKLUSION (Lemma stabilizer-degeneracy) ist vorzeichenunabhaengig (nur Betraege werden benutzt).
• HS-Normierung explizit geklaert (Definition bigraduated).

Bewusst NICHT uebernommen: Herabstufung von Theorem six-j-recoupling zu "Conjecture" -- die Aussage ist fuer den behandelten Sechs-Qubit-Fall durch erschoepfende exakte Fallpruefung tatsaechlich vollstaendig bewiesen (siehe Remark six-j-scope), keine Vermutung.

Review B (Referee-Stil, fokussiert)

• Echter Fehler bestaetigt und behoben: Corollary nuclear-norm-first-order. Gegenbeispiel diag(1,eps) nachgerechnet: ||M(eps)||_* = 1+|eps|, nicht differenzierbar bei 0, obwohl sigma_0=1 der einzige NICHTVERSCHWINDENDE Singulaerwert ist. Korrigiert: die Hypothese verlangt jetzt explizit, dass ALLE Singulaerwerte gleich sigma_0>0 sind (keine Nullsingulaerwerte vorhanden), mit expliziter Warnung inkl. desselben Gegenbeispiels im Text.
• Wichtiger, unabhaengig bestaetigter Punkt: reelle 2-dim U(1)-Darstellung ist komplexen Typs (End=C, nicht R) -- mein vorheriges Remark hatte "automatic throughout" faelschlich auch fuer U(1) behauptet; jetzt praezise: SO(3)/Permutation = real type automatisch, U(1) = komplexer Typ, aber im Haupttext korrekt ueber Gewichtsraeume umgangen (nicht ueber die reelle Wigner-Eckart-Formel).
• "fully proved" in Abstract UND Introduction abgeschwaecht zu einer praezisen Formulierung (allgemein bewiesen bis auf eine erschoepfend und exakt fuer den Sechs-Qubit-Fall verifizierte endliche Identitaet), da beide Reviews unabhaengig denselben internen Widerspruch zur Remark six-j-scope monierten -- berechtigt, auch wenn ich am Theorem-Status selbst festhalte.
• 6/sqrt7 im Abstract als Wert des Ein-Partei- (1|3-) Schnitts praezisiert (war zuvor mehrdeutig zwischen "jedem Schnitt" lesbar).

Bewusst NICHT uebernommen: Downgrade des sechs-j-Theorems (siehe oben, gleiche Begruendung wie bei Review A).