quantum-shadow-maps_v2/scripts/symmetric_states/_from_other_discussion/README.md

Scripts: S_m × SO(3) double collapse (fehlende Resultate im Entwurf)

Diese Skripte reproduzieren und erweitern Example ex:dicke-network / sec:sm-so3-combination aus shadow_maps_symmetric_states.tex. Sie decken genau die Ergebnisse ab, die in der Team-Notiz vom [Datum der Sitzung] als "im Entwurf fehlend" markiert wurden.

Dateien

• shadow_su2_common.py — gemeinsames Modul: Dicke-Zustände, der doppelt-symmetrische Zustand |Q_m>, Pauli-Operatoren, die Multinomial-Kollaps-Einbettung (Prop. multinomial-collapse), und die exakten Casimir-Projektoren + Blockstruktur-Check (Remark casimir-projectors, Cor. projector-norm-formula). Keine externen Abhängigkeiten außer NumPy.

• 01_double_collapse_table.py — der volle aktive Block M_{S\to S^c} für m=3,4,5. Reproduziert das bestehende $m=3$-Beispiel im Paper und erweitert es auf m=4,5. Erzeugt die Tabelle der exakten $A_j$-Werte und prüft zwei Muster:

  • Vorzeichen =(-1)^m
  • Top-Verhältnis A_m/A_{m-2}=2m exakt

  Achtung: Die Werte hier sind A_1=-1/3, A_3=-2 für m=3 — negativ. Der aktuelle Paper-Entwurf gibt A_1=+1/3, A_3=+2 an (positiv). Für dieselbe Zustandsdefinition sollte das Vorzeichen aber eindeutig sein (kein Freiheitsgrad einer globalen Phase, da es sich um einen Erwartungswert handelt). Bitte vor Übernahme ins Paper gegenprüfen — betrifft nicht die im Text gezogene Konsequenz 3A_1+7A_3=15, die nur |A_j| benutzt.

• 02_subsector_multiplicity_example.py — der Teilsektor-Fall V=\{A,B,C\}\subsetneq S=\{A,B,C,D\} (ein "Zuschauer"-Qubit D), analog auf der Zielseite. Im Unterschied zu 01 lebt V hier in der vollen, nicht symmetrisierten (\mathbb R^3)^{\otimes3} mit Multiplizitäten m_j=1,3,2,1 für j=0,1,2,3. Ergebnis:

  • j=3: skalar, A_3=-0.8 (Multiplizität 1, wie erwartet)
  • j=2: verschwindet identisch (nicht nur klein — exakt Null, unerklärt, siehe unten)
  • j=1: echte, nicht-skalare $3\times3$-Matrix, Rang 1 (ein Singulärwert 0{,}3, dreifach über die Multiplizität)
  • j=0: exakt Null

  Das ist im aktuellen Entwurf komplett unbehandelt — bisher zeigt das Paper nur den multiplizitätsfreien Fall V=S, bei dem A_j zwangsläufig skalar ist. Dieses Beispiel ist der erste konkrete Beleg für echte Multiplizitätsraum-Struktur am doppelt-symmetrischen Zustand.

Offene Punkte (nicht in den Skripten gelöst)

1. Geschlossene Form für $A_j(m)$: Nur numerisch gemustert (Tabelle in 01), nicht hergeleitet. Nächster Schritt wäre eine saubere Clebsch-Gordan-Herleitung via sympy (z. B. über den "gestreckten Zustand"-Trick), nicht durch Raten aus den drei Datenpunkten.
2. Warum verschwinden j=2,0 im Teilsektor-Beispiel (02)? Exakt Null, nicht nur klein — deutet auf eine zusätzliche Auswahlregel hin (Parität? Eigenschaft der spezifischen $Q_4$-Konstruktion?). Nicht untersucht.
3. Das Vorzeichen-Problem oben (Punkt zu 01) sollte geklärt werden, bevor das Beispiel im Paper erweitert wird.

Ausführen

pip install -r requirements.txt
python3 01_double_collapse_table.py
python3 02_subsector_multiplicity_example.py

Beide Skripte sind eigenständig lauffähig (importieren nur shadow_su2_common.py aus demselben Verzeichnis) und laufen jeweils in wenigen Sekunden.