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# Shadow maps / symmetric states — numerical scripts
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Ausführungsreihenfolge (jedes Skript liest die .npy/.npz-Dateien des vorigen):
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## 1. `1_recoupling_check.py`
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Baut die zwei Basiszustände (6 Qubits, Singulett-Netzwerke mit den
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Paarungen (A,D)(B,E)(C,F) bzw. (A,E)(B,F)(C,D)) und deren volle
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Korrelationstensoren T1, T2 sowie den Kohärenz-Kreuzterm C12.
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Verifiziert per Brute-Force-Quantensimulation (unabhängig, für mehrere
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Werte von alpha), dass für JEDE kohärente Überlagerung
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|Xi(alpha)> = (cos(alpha) psi1 + sin(alpha) psi2)/norm
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der volle Korrelationstensor exakt
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T(Xi) = [cos^2(a) T1 + sin^2(a) T2 + cos(a)sin(a) C12] / N2
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ist -- UND dass diese drei festen Tensoren (unabhängig von alpha UND
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unabhängig vom gewählten Schnitt!) per einfachem .reshape() sowohl den
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Schnitt ABC|DEF (27x27) als auch AB|CDEF (9x81) liefern, exakt
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übereinstimmend mit unabhängiger Brute-Force-Simulation für jeden Schnitt.
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Output: T1.npy, T2.npy, C12.npy
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## 2. `2_exact_casimir_projectors.py`
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Baut die exakten SO(3)-Spin-1-Generatoren J_x,J_y,J_z symbolisch mit
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sympy (Levi-Civita-Definition), verifiziert die so(3)-Kommutatorrelation
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und J^2=2*I_3 symbolisch exakt. Konstruiert dann den totalen
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Casimir-Operator J^2_total auf (R^3)^{⊗k} für k=2,3,4 und diagonalisiert
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ihn (numpy, Hermitesch, maschinengenau). Die Eigenräume zu Eigenwert
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j(j+1) SIND per Definition die Isotypen-Projektoren -- exakt, ohne
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Monte-Carlo-Integration über SO(3) wie in einer früheren Version.
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Output: projectors_exact.npz
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## 3. `3_apply_exact_projectors.py`
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Wendet die exakten Projektoren auf T1, T2, C12 an (für beliebiges alpha,
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beliebigen Schnitt) und berechnet ||A_j||_* pro Drehimpulssektor j,
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für zwei Beispielzustände und beide Schnitte (ABC|DEF und AB|CDEF).
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Bestätigt exakte Additivität sum_j (2j+1)||A_j||_* = ||M||_*.
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## Kontext
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Diese Skripte gehören zur Diskussion der Frage, wie die bigraduierte
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Shadow Map M_S(rho) sich unter globaler kollektiver SO(3)-Symmetrie in
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Drehimpuls-Isotypen zerlegt (Erweiterung von symmetric_shadow_maps_formal.tex
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/ shadow_maps_symmetric_states.tex um die Rotationssymmetrie-Seite neben
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der bereits behandelten S_m-Permutationssymmetrie), und wie sich diese
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Zerlegung zwischen verschiedenen Schnitten desselben global-invarianten
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Zustands umrechnen lässt (siehe Skript 1: EIN Tripel (T1,T2,C12) liefert
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JEDEN Schnitt per reshape, ohne erneute Kontraktion über den vollen
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Hilbertraum).
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## 4. `4_spherical_basis.py`
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Baut eine Condon-Shortley-konsistente sphärische Basis {|1,-1>,|1,0>,|1,+1>}
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für ein einzelnes Spin-1-Bein über Leiteroperatoren (nicht aus einer
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memorierten Formel zitiert), ausgehend von den exakten Cartesischen
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Generatoren. Validiert Kommutatoren, Normierung, Jz-Eigenwerte.
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## 5. `5_six_j_recoupling.py`
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Baut die gekoppelten Basen |p,j,m>_ABC (Baum (AB)C), |y,j,m>_DEF (Baum
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(DE)F) und |y,j,p,m>_CDEF (Baum (C,(DE)F)) via sympy-Clebsch-Gordan-
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Koeffizienten. Extrahiert die reduzierten Matrixelemente A_j^(1)[p,y]
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(Schnitt ABC|DEF) und A_p^(2)[y,j] (Schnitt AB|CDEF) für zwei Zustände
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und findet empirisch (numerisch bis auf 1e-6, an 15 unabhaengigen
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Datenpunkten):
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A_p^(2)[y,j] = -sqrt((2j+1)/(2p+1)) * A_j^(1)[p,y] (unabhaengig von y!)
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Das ist die 6j-Rekopplungsformel zwischen den A_j-Bloecken zweier
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verschiedener Schnitte desselben invarianten Tensors -- numerisch
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bewiesen, aber NICHT sauber gegen eine Standard-Lehrbuch-6j-Formel
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identifiziert (siehe verify_6j.py / search_6j.py Versuche, beide mit
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Konventions-Mismatch). Das ist die offene Baustelle.
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## 6. `6_six_j_recoupling_proof.py` (SUPERSEDES the earlier `5_six_j_recoupling.py`)
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Vollstaendiger, verifizierter Beweis der Rekopplungsformel zwischen den
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reduzierten Bloecken A_j^(1) (Schnitt ABC|DEF) und A_p^(2) (Schnitt
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AB|CDEF) desselben invarianten Tensors:
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A_p^(2)[y,j] = -sqrt((2j+1)/(2p+1)) * A_j^(1)[p,y] (y-unabhaengig!)
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Kernschritte (jeder einzeln verifiziert):
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(1) Schur-Lemma KORREKT auf die bilineare (nicht sesquilineare) Paarung
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angewandt -- die Transponierte einer Wigner-D-Matrix haengt ueber die
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Metrik C_j (nicht D selbst) mit der Inversen zusammen; das war der
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Fehler im ersten Versuch.
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(2) Exakte Konjugationsphase fuer CG-gekoppelte Multipletts:
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conj(v_{J,m}) = (-1)^(J+n_leg) * (-1)^m * v_{J,-m}
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(n_leg = Anzahl der elementaren Spin-1-Beine im Baum), verifiziert
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fuer n_leg=3 und n_leg=4.
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(3) Eine endliche CG-Summe Xi(p,j,m'), exakt symbolisch (sympy) zu
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sqrt((2j+1)/(2p+1)) ausgewertet, m'-unabhaengig, fuer alle p,j<=3.
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(4) End-to-End-Kreuzcheck gegen Brute-Force-Quantensimulation: Fehler
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2.2e-16 (Maschinengenauigkeit).
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Offen (siehe Kommentare im Skript und rem:six-j-scope im .tex): die
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allgemeine (nicht nur p,j<=3) geschlossene Form von Xi als zitierfaehiges
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Standard-6j-Symbol wurde nicht identifiziert (zwei Versuche dazu blieben
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erfolglos, siehe search_6j.py-Fragmente); ebenso ist Gl. (2) nur verifiziert,
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nicht fuer allgemeines n_leg induktiv hergeleitet.
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## 7. `7_combined_sm_so3_collapse.py`
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Kombiniert S_m-Permutationssymmetrie mit voller kollektiver SO(3)-Symmetrie
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an einem konkreten 6-Qubit-Beispiel: |Q> = kanonische Invariante zweier
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gekoppelter Spin-3/2-Dicke-Multipletts auf ABC und DEF (Gl.
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eq:dicke-network-state im .tex). Verifiziert:
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- |Q> ist exakt kollektiv-rotationsinvariant (|<Q|U^6|Q>|=1 exakt).
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- Innerhalb des 10-dim S_3-symmetrischen Unterraums (Typ-Basis u_alpha,
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Sym^3(C^3)) zeigt der Casimir NUR j=1 (x3) und j=3 (x7) -- j=0,2
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komplett abwesend, multiplizitätsfrei wie klassisch vorhergesagt.
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- Die gesamte Kernnorm (15.0) lebt exakt im doppelt-symmetrischen
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Sektor (Norm ausserhalb: 7e-15).
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- Konkrete Skalarwerte: A_1=1/3, A_3=2, mit 3*A_1+7*A_3=15 exakt.
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Ist jetzt Proposition harmonic-decomposition + Example dicke-network im
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.tex (Abschnitt sec:sm-so3-combination).
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## 8. `8_general_r_check.py`
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Schliesst die letzte offene TODO im Abschnitt: verallgemeinert die
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Cut-unabhaengige Template-Aussage (Proposition coherence-templates) von
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r=2 auf r=3, mit einem ECHT GEMISCHTEN (volle Rang-3, nicht reine
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Ueberlagerung) Zustand. Korrigiert nebenbei einen Zaehlfehler im
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urspruenglichen TODO-Kommentar: die Anzahl unabhaengiger reeller Tensoren
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ist r^2 (= reelle Dimension hermitescher r x r Matrizen), nicht r(r+1)/2.
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Drei verschiedene Perfect-Matchings von 6 Qubits als Basis-Zustaende,
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Gram-Matrix-Konditionszahl 2 (linear unabhaengig), Haar-zufaellige
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hermitesche PSD-Koeffizientenmatrix voller Rang. Ergebnis: Fehler 1.1e-16
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zwischen Brute-Force- und Template-basierter Korrelationstensor-Berechnung,
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an BEIDEN Schnitten gleichzeitig, ohne erneute Simulation.
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Ist jetzt Corollary real-tensor-count + Example general-r-three im .tex. |